14.3. Оптическое преобразование Фурье

Наиболее часто с помощью оптических процессоров выполняют преобразование Фурье.

Р ассмотрим следующую оптическую схему (рис. 14.4). На одномерную решетку, которая состоит из горизонтальных щелей, разделенных непрозрачными промежутками, и расположена в плоскости Z₁, падает плоская световая волна - световой пучок равномерной интенсивности. На каждой из щелей будет происходить дифракция света. Световые колебания, дифрагированные каждой щелью под углом φ к направлению падающего пучка, будут интерферировать. Расположим линзу Л₁ на фокусным расстоянии F от решетки. Все лучи, дифрагированные под углом φ, собираются линзой Л₁ в ее задней фокальной плоскости Z₂ на оси у в точке с координатой у_φ = F tg φ ≈ F φ (φ – мал) Если ширина непрозрачных штрихов мала по сравнению с периодом решетки - расстоянием р между штрихами, то результирующая амплитуда в плоскости Z₂ отлична от нуля только тогда, когда Δ - разность путей, проходимых лучами от двух соседних щелей, равна или кратна λ - длине волны света: Δ = п λ =р sinφ ≈ p φ (п - целое число), или φ =n λ/ p.

Таким образом, в плоскости Z₂ на оси у за счет дифракции образуется ряд светлых точек - дифракционных максимумов, расстояние между которыми d=F n λ/ р. Величина 1/р называется пространственной частотой. Таким образом, измеряя расстояние между соседними дифракционными максимумами, можно найти период решетки. Изображение в плоскости Z₂, называемой спектральной или частотной, представляет собой ряд точек, положение которых зависит от периода решетки. В плоскости Z₂ возникает дифракционная картина - «дифракционный образ» того предмета, который расположен в плоскости Z₁. Если на расстоянии F от плоскости Z₂ расположена линза Л₂ с тем же фокусным расстоянием F, что и линза Л₁, то в задней фокальной плоскости линзы Л₂ - в плоскости Z₃ возникает действительное изображение решетки, расположенной в плоскости Z₁.

Дифракционная картина, возникающая в плоскости Z₂, рассматривается как Фурье-преобразование (спектр) анализируемого объекта (сигнала). Линза Л₂ выполняет обратное преобразование Фурье, преобразует спектр в действительное изображение решетки в плоскости Z₃.

Рассмотрим теперь транспарант, который представляет собой решетку с синусоидальным распределением прозрачности вдоль вертикальной оси. Такой решеткой является интерференционная картина, получающаяся при сложении колебаний от двух когерентных источников света. Поместим транспарант в плоскости Z₁. На выходе такого транспаранта в результате дифракции образуется всего три пучка интенсивностью I₀, I₁ и I₁^′ Направление первого из них совпадает с направлением падающего света, пучки же I₁ и I₁^′ идут под углами +φ и -φ к этому направлению. Линза Л₁ фокусирует пучок I₀ в точке 0 плоскости Z₂, а пучки I₁ и I₁^′ — в точках 0₁ и 0₁^′, находящихся на расстоянии d₁ от точки 0. При малых углах d₁ = F λ/ р.

Линза Л₁ преобразовала период р изменения коэффициента пропускания транспаранта в расстояние d₁ между максимумами на плоскости Z₂ (преобразование Фурье, осуществляемое любой линзой).