4.2. Пример решения задач.

Задача. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,01эВ ниже уровня Ферми, при температуре +18˚С ?

Решение.

Функция распределения Ферми-Дирака

4.3. Задачи.

1. Определить длину свободного пробега электрона в металле, если концентрация электронов n = 10²³ м ^-3, скорость движения электрона v = 104 м/c, удельная электропроводность σ =5∙10 ³ Ом ^-1∙см ^-1.

2. Удельное сопротивление серебра при комнатной температуре равно 0,015 мкОм ∙ м, а температурный коэффициент удельного сопротивления составляет 4,1∙10 ^-3 К^-1. Определить, как и во сколько раз изменится длина свободного пробега электронов при нагревании проводника от 300 до 1000К.

3. В медном проводнике под действием электрического поля проходит электрический ток плотностью 1А/мм². Определить скорость дрейфа и отношение её к средней суммарной скорости движения электронов при температуре 300К.

4. Вычислить удельное сопротивление металлического проводника, имеющего плотность 970 кг/м³ и молярную массу 0,023 кг/моль, если известно, что средняя скорость дрейфа электронов в электрическом поле напряжённостью 0,1 В/м составляет 5∙10 ^-4 м/c. Можно полагать, что на каждый атом кристаллической решётки приходится один электрон.

5. В металлическом проводнике с площадью поперечного сечения 10 ^–2 мм² и сопротивлением 10 Ом концентрация свободных электронов равна 8,5∙10²⁸ м ^-3. Определить среднюю скорость дрейфа электронов при напряжении 0,1 В.

6. Найти разницу энергий (в единицах kT) между электроном, находящимся на уровне Ферми, и электронами, находящимися на уровнях, вероятности заполнения которых равны 0,20 и 0,80.

7. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,01 эВ ниже уровня Ферми, при температуре 300К?

8. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, если уровень расположен на 0,01 эВ ниже уровня Ферми и температуру повысить от 300 до 1000К?

9. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, если он расположен на 0,1 эВ выше уровня Ферми и температура изменяется от 1000 до 300К?

10. Определить температуру, при которой вероятность нахождения электрона с энергией W=0,5 эВ выше уровня Ферми в металле равна 1%.

11. Найти максимальную и среднюю скорости теплового движения свободных электронов в металле при температуре вблизи абсолютного нуля, если концентрация электронов 8,5∙10²⁸ м ^–3.

12. Вычислить концентрацию свободных электронов в кристалле меди 8,92∙10³ кг/м ^-3. При расчёте полагать, что на каждый атом кристаллической решётки приходиться один электрон.

13. Положению уровня Ферми для алюминия при соответствует энергия 11,7 эВ. Рассчитать число свободных электронов, приходящихся на один атом. Эффективную массу электронов проводимости принять равной массе свободного электрона.

14. При нагревании провода из манганина длиной 1,5м и диаметром 0,1мм от 20 до 100 °С его сопротивление уменьшается на 0,07 Ом, а длина возрастает на 0,16%. Определить температурный коэффициент удельного сопротивления. При расчётах принять, что при комнатной температуре для манганина удельное сопротивление ρ = 0,47 мкОм ∙ м.

15. Удельное сопротивление медного проводника, содержащего 0,5 ат. % индия, равно 0,0234 мкОм ∙ м, полагая, что всё остаточное сопротивление обусловлено рассеянием на примесных атомах.

16. Определить критическую температуру перехода проводника в состояние сверхпроводимости, если размер энергетической щели 2Δ(0) = 2,2 мэВ. Как изменится эта температура при воздействии внешнего магнитного поля?