Распределение Ферми – Дирака

Функция распределения Ферми – Дирака определяет среднее число частиц, подчиняющихся принципу Паули, в данном энергетическом состоянии, т.е. она выражает вероятность заполнения данного состояния:

.

(4.12)

Рассмотрим основные свойства функции Ферми – Дирака применительно к электронам в металле. При T = 0 К электроны последовательно занимают все состояния, начиная с наинизшего, соответствующего дну зоны проводимости. Значение функции распределения для всех этих уровней равно единице, при этом последним будет заполнен энергетический уровень, высота которого, отсчитанная от дна зоны проводимости, равна химическому потенциалу E_Ф = _Ф. Этот энергетический уровень получил название уровня Ферми. С учётом этого функцию распределения Ферми – Дирака можно представить в виде

.

(4.13)

Все энергетические уровни, лежащие выше уровня Ферми, свободны, и для них функция распределения равна нулю (f_Ф(E>E_Ф)=0). При повышении температуры часть электронов переходит на более высокие энергетические уровни (E>E_Ф), в результате чего вероятность заполнения этих уровней увеличивается, а вероятность заполнения энергетических уровней, лежащих ниже уровня Ферми (E<E_Ф), уменьшается. Графики функции распределения Ферми – Дирака для различных значений температуры представлены на (рис. 4.3).

Используя выражения (4.10) и (4.13), а также понятие об уровне Ферми, определим концентрацию электронов n(E)dE, имеющих энергию в области от E до E+dE,

(4.14)

Важнейшими свойствами уровня Ферми являются:

1. Вероятность заполнения электроном уровня Ферми при любой температуре равна ½.

2. Уровень Ферми представляет собой химический потенциал электронов данной системы (в расчёте на один электрон). Поэтому условием равновесия двух электронных проводников, которые приведены в контакт (безразлично, металлов или полупроводников), является равенство их уровней Ферми.

3. Уровень Ферми определяется из условия, что независимо от распределения по уровням, полное число электронов в кристалле должно оставаться неизменным. Это требование связано с условием электронейтральности системы в целом.

Рис. 4.3

Интегрируя выражение (4.14), получаем общее число частиц в единице объёма системы

,

(4.15)

что приводится к следующему выражению

(4.16)

откуда получаем

(4.17)

где

(4.18)

представляет собой значение уровня Ферми металлов при 0 К.

Значение составляет обычно величину около 5 эВ; поправка в (4.17) во всём температурном интервале не превышает сотых долей процента, поэтому в отличие от полупроводников в металлах уровень Ферми практически не зависит от температуры и определяется выражением (4.18).

Из условия определяем значение Т_Ф

,

(4.19)

выше которой выполняется критерий невырожденности электронного газа. Расчёты показывают, что эта температура примерно на два порядка выше температуры плавления металлов, в связи с чем электронный газ в металлах всегда находится в вырожденном состоянии.

Одной из основных характеристик электронной проводимости является закон дисперсии, выражающий зависимость энергии электрона от импульса p, т.е. Е = Е(р). Для свободных электронов

. (4.20)

При абсолютном нуле температуры энергия электронов в металле ограничивается энергией Ферми, которой соответствует импульс

.

(4.21)

Проведя в пространстве импульсов сферу радиусом p_Ф, получим энергетическую поверхность Е_Ф , отделяющую заполненные состояния от незаполненных. Такая изоэнергетическая поверхность называется поверхностью Ферми. Характер этой поверхности определяется видом зависимости Е(р), который лишь в частном случае свободных электронов приводит к сферической поверхности Ферми. Для электронов проводимости в кристалле закон дисперсии имеет более сложный вид, и поверхность Ферми не является сферической.

Поверхность Ферми является наиболее важной характеристикой металлов, позволяющей понять и объяснить его основные свойства: электрические, тепловые, магнитные, механические, оптические.

Анализируя различные функции распределения частиц по энергиям (4.1, 4.8, 4.12), получаем, что при условии

(4.22)

функции Бозе–Эйнштейна и Ферми – Дирака переходят в функцию Максвелла – Больцмана, которую можно рассматривать как предельный случай квантовых статистик.

Условие (4.22) эквивалентно условию

,

(4.23)

и оба условия определяют критерий вырождения системы частиц.

С учётом (4.7) условие (4.22) можно записать

.

(4.24)

Так как максимальное значение экспоненциального члена стремиться к 1, то условие (4.24) перепишется в виде

.

(4.25)

Из (4.25) следует, что степень вырождения системы элементов определяется их концентрацией и температурой: чем больше концентрация элементов и чем ниже температура, тем сильнее вырождена система электронов. Из (4.25) получаем соотношение между концентрацией электронов и температурой системы

.

(4.26)

При комнатной температуре правая часть выражения (4.26) составляет величину 2,5 10²⁵ м ^–3. В металлах концентрация свободных электронов практически постоянная и составляет величину порядка 10²⁸м ^–3, т.е. при комнатной температуре система электронов в металле всегда находится в вырожденном состоянии и поведение электронов описывается только квантовой статистикой Ферми – Дирака.

Электропроводностью называют явление направленного переноса (движения) свободных носителей заряда под действием электрического поля. Необходимым условием существования электропроводности у кристаллов является наличие в их энергетической диаграмме частично заполненных электронами энергетических зон. Только в этом случае электрическое поле может привести к нарушению чисто беспорядочного движения носителей заряда – электронов и дырок, к наложению на него направленного переноса.

В отсутствии внешнего электрического поля электронный газ в проводнике находится в равновесном состоянии и описывается функциями распределения Максвелла - Больцмана (невырожденный газ) или Ферми – Дирака (вырожденный газ). На рис. 4.4 представлены графики распределения функции f_М(v_x) и f_Ф(v_x). Симметричность функции указывает на то, что количество электронов, движущихся в противоположных направлениях, одинаково, а средняя скорость их движения

fм vд ε 0 vx	fф vд ε 0 vx
Рис. 4.4

равна нулю, что обусловливает отсутствие тока при нулевой напряжённости внешнего электрического поля.

Установление равновесия в электронном газе происходит за счёт взаимодействия электронов с тепловыми колебаниями решётки (фононами) и примесными атомами, искажающими локальные электрические поля. Это взаимодействие приводит к рассеянию электронов и установлению беспорядочного движения их в проводнике.

При наложении внешнего электрического поля напряжённостью возникает электрический ток плотностью

,

(4.27)

где σ – коэффициент пропорциональности, называемый электропроводностью проводника.

Величина, обратная σ, называется удельным сопротивлением.

.

(4.28)

Направленное движение электронов называют дрейфом. Так как заряд электрона отрицателен, дрейф происходит в направлении, противоположном .

Рассмотрим в потоке электронов параллелепипед с единичным основанием и высотой равной v_д, где v_д – средняя скорость дрейфа. Тогда объём параллелепипеда равен v_д, число электронов в нём n _· v_д, где n – концентрация электронов. Пройдя через основание параллелепипеда, эти электроны образуют ток плотностью

(4.29)

где «-» означает, что ток направлен противоположно направлению дрейфа электронов. Сравнивая (4.27) и (2.28), имеем

(4.30)

откуда

.

(4.31)