2.5. Концентрация носителей заряда

в полупроводниках

2.5.1. Собственные полупроводники

При температурах, отличных от абсолютного нуля, в полупроводнике происходит тепловое возбуждение (генерация) свободных носителей заряда. Если бы этот процесс был единственным, то концентрация носителей непрерывно возрастала бы с течением времени. Однако вместе с процессом генерации возникает процесс рекомбинации: электроны, перешедшие в зону проводимости или на акцепторные уровни, вновь возвращаются в валентную зону или на донорные уровни, что приводит к уменьшению концентрации свободных носителей заряда. Динамическое равновесие между этими двумя процессами при любой температуре приводит к установлению равновесной концентрации носителей. Такие носители называются равновесными.

Концентрацию равновесных носителей заряда можно определить, интегрируя произведение плотности квантовых состояний g(E) на функцию распределения f_ф(E) по всем энергетическим уровням системы в соответствии с формулой (2.13).

Emax Emax Ec Ec Eф Eф Ev Ev Emin Emin fф(E) 1 0,5

Рис. 2.5

При этом интегрирование следует производить, как видно из (рис. 2.5), от уровня дна зоны проводимости Ec до верхнего уровня Emax:

.

(2.36)

Так как функция распределения очень быстро уменьшается с ростом энергии, E_max можно положить равным бесконечности. В полупроводниковых кристаллах принято энергию в зоне проводимости отсчитывать от энергетического уровня, соответствующего минимуму зоны E_c. В этом случае формула (2.10) имеет вид

.

(2.37)

Подставляя (2.22) и (2.37) в (2.36), получаем

.

(2.38)

Собственные и слаболегированные полупроводники являются невырожденными системами, т.е. для них выполняется условие (2.32) – f(E)<<1. В этом случае функция распределения Ферми – Дирака может быть заменена функцией распределения Максвелла – Больцмана. С учётом этого из (2.38) получаем

(2.39)

или

,

(2.40)

где величина

(2.41)

называется эффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Для германия, например, при комнатной температуре эффективная плотность состояний N_c ≈ 10²⁵ м ^-3.

Расчёт концентрации дырок проводится аналогично, однако в этом случае для функции распределения используется другое выражение

(2.42)

которое определяет вероятность того, что этот уровень свободен, или, что то же самое применительно к валентной зоне, занят дыркой. С учётом этого получаем

,

(2.43)

отсюда

,

(2.44)

где величина

называется эффективной плотностью состояний в валентной зоне. В случае германия при T = 300 K N_v = 6·10²⁵ м ^–3.

В состоянии равновесия уровень Ферми всех частей системы должен быть одинаковым, что определяет условие нейтральности. Это условие в случае собственного полупроводника определяется равенством концентраций электронов и дырок

,

(2.45)

откуда получаем выражение для значения уровня Ферми в собственном полупроводнике

.

(2.46)

Из выражения (2.46) следует, что в собственном полупроводнике уровень Ферми располагается приблизительно в середине запрещённой зоны, поскольку вторым слагаемым можно пренебречь из-за его малости.

Подставляя (2.46) в (2.41) и (2.44), получаем концентрацию носителей заряда в собственном полупроводнике

.

(2.47)

Из формулы (2.47) видно, что равновесная концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике определяется шириной запрещённой зоны и температурой. Причём зависимость n_i и p_i от этих параметров является очень резкой. Так, уменьшение ширины запрещенной зоны с 1,12 эВ (Si) до

0,08 эВ (серое олово) при комнатной температуре приводит к увеличению n_i и p_i на 9 порядков; увеличение температуры германия от 100 К до 600 К повышает n_i и p_i более чем на 10 порядков.

2.5.2. Примесные полупроводники

Для примесного полупроводника донорного типа для возбуждения и переброса в зону проводимости электронов с донорных уровней (рис. 2.6) требуется энергия (E_с-E_д) примерно в 100 раз меньше, чем (E_с-E_v).

E Зона проводимости Eс + + + + + Eд Ev Валентная зона 0 T Ts Tί

Рис. 2.6

Поэтому концентрация электронов в зоне проводимости n_n будет равна концентрации дырок на донорных уровнях p_д . Если концентрация примесных атомов равна N_д , то концентрация дырок на примесных уровнях равна

.

(2.48)

В области малых температур заселённость уровней невелика, поэтому функцию распределения Ферми – Дирака можно заменить на функцию Максвелла – Больцмана. Тогда

.

(2.49)

Приравнивая выражения (2.40) и (2.49), что выражает условие электронейтральности, получаем выражение для энергии уровня Ферми для электронного полупроводника

.

(2.50)

Из этого выражения следует, что при Т = 0 К уровень Ферми примесного электронного полупроводника располагается посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем.

Если выражение (2.50) подставить в (2.41), получим концентрацию электронов в примесном электронном полупроводнике (основные носители)

(2.51)

где – энергетический зазор между примесным донорным уровнем и дном зоны проводимости.

Если выражение (2.50) подставить в (2.44), получим концентрацию дырок в примесном электронном полупроводнике (неосновные носители)

.

(2.52)

Перемножая (2.51) и (2.52) и сравнивая с (2.47), находим произведение концентраций основных и неосновных носителей в электронном полупроводнике

.

(2.53)

Выражение (2.53) обусловливает термодинамическое равновесие в полупроводнике и называется законом действующих масс. Из него следует, что с повышением концентрации донорной примеси и, следовательно, с ростом концентрации основных носителей наблюдается при постоянной температуре пропорциональное уменьшение концентрации неосновных носителей так, что их произведение остаётся постоянным и равным квадрату концентрации электронов в чистом полупроводнике. Закон действующих масс справедлив для любого невырожденного полупроводника в условиях термодинамического равновесия.

Подставляя в (2.50) значение N_c из (2.41), получаем

.			(2.54)
Если		что выполняется в области

низких температур, уровень Ферми с повышением температуры поднимается вверх ко дну зоны проводимости (рис. 2.6). При дальнейшем повышении температуры второй член выражения (2.54) становится отрицательным, что соответствует снижению уровня Ферми. При температуре T_s он пересекает донорные уровни, что соответствует переходу всех электронов с примесных уровней в зону проводимости (истощение примесных уровней), т.е.

.

(2.55)

Подставляя это значение n_n в выражение (2.51), получаем значение температуры истощения примеси

,

(2.56)

где ΔE – энергетический зазор между примесным уровнем и дном зоны проводимости. Оценка температуры истощения примесей для германия даёт значение T_s около 32 К.

Выше T_s уровень Ферми понижается примерно пропорционально температуре. В этой области температур начинается возбуждение электронов из валентной зоны. При этом увеличивается как концентрация электронов (n_i), так и концентрация дырок в валентной зоне (p_i), вследствие чего при n_i >> n_n значение уровня Ферми определяется выражением (2.46) и располагается в середине запрещённой зоны, совпадая с уровнем Ферми беспримесного полупроводника.

Аналогичные зависимости наблюдаются и в дырочном полупроводнике, в котором имеются только акцепторные уровни (рис. 2.7). При низких температурах концентрация дырок в валентной зоне равна концентрации электронов на акцепторных уровнях. Концентрация электронов на акцепторных уровнях при низких температурах равна

.

(2.57)

Из условия n_a = p_p получаем выражение для определения уровня Ферми

.

(2.58)

Подставляя (2.58) в (2.40), получаем концентрацию дырок в дырочном полупроводнике

,

(2.59)

где ΔE_а – энергетический зазор между примесным акцепторным уровнем и потолком валентной зоны.

Подставляя (2.58) в (2.41), получаем концентрацию электронов – неосновных носителей заряда (n_p); сопоставляя n_p, p_p (2.59) и n_i (2.47), получаем выражение закона действующих масс для дырочного полупроводника

.

(2.60)

E Зона проводимости Eс + + + + Eа + + + + Ev Валентная зона 0 T Ts Tί

Рис. 2.7

При Т = 0 К уровень Ферми в дырочном полупроводнике расположен между акцепторным уровнем и потолком валентной зоны (выражение 2.58). В области низких температур N_a>N_v (2.44) и уровень Ферми при повышении температуры сначала опускается к потолку валентной зоны, затем (когда

становится отрицательной величиной) он повышает-

ся, пресекает акцепторный уровень при температуре истощения примеси T_s и стремится при дальнейшем повышении температуры к уровню Ферми для собственного полупроводника, поскольку концентрация собственных носителей значительно превосходит концентрацию акцепторов (рис. 2.7).

На рис. 2.8 представлены температурные зависимости концентрации основных и неосновных носителей, построенные по выражениям (2.47), (2.51) и (2.59). Из рисунка видно, что в области низких температур резко возрастает концентрация основных носителей (n_n и p_p).

Когда все примесные уровни будут ионизированы, концентрация носителей в полупроводнике будет постоянной и равной концентрации соответствующей примеси. При определённой температуре начинается переход собственных электронов из валентной зоны в зону проводимости, что сопровождается увеличением концентрации неосновных носителей. Начиная с некоторой температуры, количество междузонных переходов оказывается настолько велико, что концентрации основных и неосновных носителей сравниваются и совпадают с концентрацией носителей в собственном полупроводнике.

nn pn nn ni 1016 pn ni 1012 108 T(К) 0 200 400 600	pp np pp ni 1016 np ni 1012 108 T(К) 0 200 400 600
Рис. 2.8

Если в полупроводнике одновременно присутствуют донорные и акцепторные примеси, то в соответствии с принципом минимальной энергии электронов будет происходить их перераспределение между донорными и акцепторными уровнями. При N_д>N_а электроны с донорных уровней переходят на акцепторные уровни, которые в этом случае не могут уже принимать электроны из валентной зоны; оставшиеся на донорных уровнях электроны обеспечивают полупроводнику проводимость n – типа. При N_а>N_д на акцепторные уровни переходят не только все электроны с донорных уровней (при Т=0 К), но и электроны из валентной зоны (при Т>0 К), что обусловливает проводимость p – типа. Указанные эффекты получили название компенсации. При N_а=N_д имеет место полная компенсация, вследствие чего концентрация электронов и дырок равна их концентрации в собственном полупроводнике.