2. ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

В системе большого числа частиц наблюдаются определённые закономерности в отношении распределения этих частиц по энергиям, которые носят название статистических. Эти закономерности описываются статистической функцией распределения f(E,T), зависящей от вида частиц, находящихся в данном энергетическом состоянии E при температуре T.

Предположим, что на N одинаковых частиц приходится G различных состояний, в которых может находиться отдельная частица. Мерой нахождения частицы в данном состоянии служит отношение N/G. Если N/G<<1, то число вакантных состояний много больше числа частиц. Подобные коллективы называются невырожденными и описываются классической статистикой Максвелла - Больцмана.

Если N/G>>1, то свойства частиц определяют заселённость состояний. Такие коллективы частиц получили название вырожденных. Вырожденные коллективы могут образовываться только квантово-механическими частицами. Действительно, для выполнения последнего условия необходимо, чтобы число возможных состояний частиц (G) было бы во всяком случае конечным. Это может быть в том случае, если параметры состояний частицы изменяются дискретно, т.е. если частица является квантово-механическим объектом.

М ежду невырожденностью коллектива и классичностью его членов нет однозначного соответствия. Невырожденные коллективы могут образовывать и квантово-механические объекты, если выполняется условие N/G<<1.

Статистическая физика, изучающая свойства вырожденных коллективов, называется квантовой статистикой. Различают квантовые статистики Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна.

Квантово-механические частицы, попадая в коллектив себе подобных, становятся принципиально неотличимыми друг от друга. Это свойство называется принципом неразличимости или тождественности микрочастиц. Принцип тождественности непосредственно вытекает из принципа неопределённости Гейзенберга.

По характеру поведения в коллективе все тождественные микрочастицы делятся на две группы – фермионы и бозоны. Фермионы в своём поведении подчиняются принципу Паули; бозоны, напротив, могут неограниченно заселять одно и то же состояние. Из элементарных частиц фермионами являются электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и др., бозонами – фотоны, фононы, ионы и др. Как показывает опыт, фермионы обладают полуцелым спином, бозоны – целочисленным.

Если r₁ – совокупность координат одной частицы, а r₂ - совокупность координат другой частицы, то  (r₁ r₂ ) – волновая функция системы, состоящей из двух одинаковых частиц. Тогда

(2.1)

есть вероятность нахождения координат одной частицы в интервале от r₁ до r₁+dr₁, а другой – от r₂ до r₂+dr₂. Из принципа тождественности частиц следует, что перестановка местами двух одинаковых микрочастиц физически ничего не изменит. В связи с этим можно записать

.

(2.2)

Этому равенству удовлетворяют соотношения

	(2.3)
и
.	(2.4)

Волновая функция, удовлетворяющая условию (2.3), называется антисимметричной по отношению к перестановке частиц и описывает поведение фермионов; функция, удовлетворяющая условию (2.4), называется симметричной, и описывает поведение бозонов. Действительно, если две одинаковые микрочастицы попали в одно и то же квантовое состояние, то волновая функция примет вид (r_1, r₁). Для несимметричной волновой функции получим

,

что выполняется только в случае (r_1, r₁) = 0. Отсюда следует, что |(r_1, r₁)|² = 0, т.е. получили выражение принципа запрета Паули – каждое квантовое состояние может быть занято лишь одной частицей – фермионом.

Для симметричных волновых функций, не меняющих знака при перестановке микрочастиц , т.е. в одном и том же состоянии может находиться любое число микрочастиц (бозонов).

2.1. Плотность числа состояний в пространстве импульсов энергий

Состояние частицы с координатами x,y,z и импульсами p_x, p_y, p_z характеризуется соотношением

.

(2.5)

Обозначая это произведение через Г, получим

.

Если частица движется свободно в объёме V, то её можно считать делокализованной по всему объёму, т.е. Г_v = V. Тогда элементарная ячейка пространства импульсов равна

.

(2.6)

Проведём в пространстве импульсов две сферы радиусами p и p+p. Между этими сферами находится шаровой слой объёмом 4p²dp (рис. 2.1). Тогда число элементарных фазовых ячеек будет равно

.

(2.7)

pz p p+dp py px

Рис. 2.1

Так как каждой ячейке соответствует (2s+1) состояний микрочастицы, где S – спин частицы, то число состояний, приходящихся на интервал dp, равно

.

(2.8)

Отсюда получаем плотность числа состояний в пространстве импульсов

.

(2.9)

Так как , то , и получаем число состояний в пространстве энергий

,

откуда плотность числа состояний в пространстве энергий равна

.

(2.10)

2.2. Распределение Максвелла – Больцмана

Классические частицы различимы, причём в данном энергетическом состоянии может находиться неограниченное число частиц. Такие частицы (например, молекулярный газ) описываются классической статистикой Максвелла-Больцмана

,

(2.11)

где _м – термодинамический параметр, называемый химическим потенциалом.

Химический потенциал выражает изменение свободной энергии системы при изменении числа частиц на единицу при неизменной температуре и объёме системы, т.е. химический потенциал равен величине свободной энергии (F), приходящейся на одну частицу системы в состоянии равновесия, и выражается формулой

,

(2.12)

где n – число частиц в системе.

fм T1 T2 T3 E	n(E) g(E) T1<T2<T3 T1 g(E) T2 T3 E
Рис. 2.2

Из графиков функции распределения Максвелла-Больцмана и распределения частиц по энергиям (рис. 2.2) видно, что при уменьшении температуры число частиц с малыми значениями энергии неограниченно возрастает. При температуре абсолютного нуля все частицы займут самое нижнее энергетическое состояние.

Используя (2.11), можно определить концентрацию частиц n(E)dE, находящихся в интервале энергии dE

,

(2.13)

где g(E) – плотность энергетических состояний, приходящихся на единицу объёма системы частиц, определяемая выражением (2.10). С учётом (2.10) и (2.11), получаем

.

(2.14)

Интегрируя (2.14) по всем значениям энергии, получаем общее число частиц в системе

,

(2.15)

откуда получаем значение химического потенциала

.

(2.16)

С учётом (2.16) функция распределения Максвелла -Больцмана имеет вид

.

(2.17)