Основные законы алгебры множеств

Чтобы записывать и преобразовывать теоретико-множественные выражения, необходимо знать свойства операций над множествами. Обобщим свойства, рассмотренные для каждой операции в отдельности.

1. Коммутативные законы:

A  B = B  A

A  B = B  A

A  B = B  A

2. Ассоциативные законы:

A  (B  C) = (A  B)  C

A  (B  C) = (A  B)  C

3. Дистрибутивные законы:

A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

4. Законы с  и U:

A   = A A  = U

A   =  A  = 

A  U = U = 

A  U = A = U

5. Законы идемпотентности (это свойство математического объекта, проявляющееся в том, когда повторное действие над объектом не изменяет его):

A  A = A

A  A = A

= A

6. Законы поглощения:

A  (A  B) = A

A  (  B) = A  B

A  (A  B) = A

A  (  B) = A  B

7. Законы де Моргана:

8. Законы склеивания:

(A  B)  (  B) = B

(A  B)  (  B) = B

Приоритеты операций над множествами

В том случае, когда алгебраическое выражение включает несколько операций над множествами, операции выполняются в порядке их приоритета.

Наивысший приоритет имеют операции дополнения – они выполняются в первую очередь. Затем выполняются операции пересечения. Затем выполняются операции объединения, разности и симметрической разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

Покрытие и разбиение множества

Покрытием множества A называется семейство непустых подмножеств этого множества, объединение которых совпадает с A.

Разбиением множества A называется семейство непустых, попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых совпадает с A. Понятно, что разбиение есть частный случай покрытия.

Пример 1. Пусть задано множество A студентов, учащихся в одной группе.

Следующие семейства множеств являются покрытием множества A, поскольку могут пересекаться между собой:

– «студенты, родившиеся с 1 января по 31 июня», «студенты, родившиеся с 1 апреля по 1 октября», «студенты, родившиеся с 1 сентября по 31 декабря»;

– «студенты, имеющие в зачетке хотя бы одну тройку», «студенты, имеющие в зачетке хотя бы одну четверку», «студенты, имеющие в зачетке хотя бы одну пятерку»;

– «студенты, которые кушают дома утром перед учебой», «студенты, которые кушают между парами в столовой», «студенты, которые кушают вечером или ночью», «студенты, которые жуют на паре».

Следующие семейства множеств являются разбиением множества A, поскольку не могут пересекаться между собой:

– «студенты мужского пола» и «студенты женского пола»;

– «отличники», «хорошисты», «троечники»;

– «студенты, родившиеся зимой», «студенты, родившиеся весной», «студенты, родившиеся летом», «студенты, родившиеся осенью».

Пример 2. Пусть задано множество чисел:

A={10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}.

Следующие семейства множеств являются покрытием множества A, поскольку могут пересекаться между собой:

– «скорости автомобиля, допустимые при движении по городу», «скорости автомобиля, допустимые при движении за чертой города», «скорости автомобиля, допустимые при движении по автомагистрали» (по автомагистрали нужно двигаться со скоростью не менее 40 км/ч);

– «трудоспособный возраст человека», «зрелый возраст человека», «молодой возраст», «преклонный возраст»;

– «числа больше 35» и «числа меньше 75».

Следующие семейства множеств являются разбиением множества A, поскольку не могут пересекаться между собой:

– «числа, для для которых есть номиналы монет в Украине», «числа, для которых номиналов монет нет»;

– «числа, первая цифра которых четная», «числа, первая цифра которых нечетная»;

– «числа, которые меньше 50», «числа, которые не меньше 50»;

– «числа, делящиеся нацело на 3», «числа, делящиеся нацело на 8», «числа, не делящиеся нацело ни на 3, ни на 8».