Способы задания множеств

Способы задания множеств могут быть различными, и выбор способа зависит как от количества элементов, из которых состоит множество, так и от природы этого множества.

Содержимое множества обычно заключается в фигурные скобки. Например, если задано множество четных чисел, больших 0 и меньших 10, то данное множество может быть записано так: A={2, 4, 6, 8}. Подобный способ задания множества называется перечислением и применим для конечных множеств с небольшим количеством элементов. Примеры задания множества перечислением:

Множество стран, граничащих с Украиной:

B = {Россия, Беларусь, Польша, Молдова, Румыния, Венгрия, Словакия}.

Множество цветов радуги:

C = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый}

Множество дней недели:

D = {пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс}

Множество рабочих дней недели:

E = {пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс}

Множество возможных оценок студента на экзамене:

F = {A, B, C, D, E, FX, F}

Множество маршрутов трамвая, отправляющихся из района Южного автовокзала г. Донецка:

G = {1, 6, 9, 10, 3, 4, 8}.

Заметим, что множества типа {1, 2, 3, 2}, {a, b, c, b}, {пн, вт, ср, пн}, {синий, красный, синий, желтый, зеленый, красный} являются некорректными. Некорректность заключается в том, что в каждом из них присутствуют элементы, неотличимые друг от друга. Для устранения некорректности одинаковые элементы множества нужно сделать отличающимися друг от друга. С формальной точки зрения для этого можно, например, использовать индексы: {синий₁, красный₁, синий₂, желтый, зеленый, красный₂}.

Множества с большим количеством элементов и бесконечные множества могут быть заданы с помощью характеристического предиката или порождающей процедуры.

Характеристический предикат – это некоторое условие, позволяющее выделить элементы множества M среди элементов более широкого, или основного множества U. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае – не принадлежит.

Пусть уже задано некоторое множество U, а также задано некоторое свойство P, которым какие-то элементы множества U обладают, а какие-то не обладают. Таким образом, задано множество M всех тех и только тех элементов из U, которые обладают свойством P. Свойство P есть характеристический предикат для множества M, а такой способ задания множеств – задание с помощью характеристического предиката. В общем виде для данного способа используется следующее обозначение:

M = {x | xU и P(x)} или M = {xU | P(x)}.

В данной записи символ | эквивалентен фразе «такие, что…», «где…». P(x) означает, что элемент x обладает свойством P. Запись читается как «множество всех x из U, обладающих свойством P». Если из контекста ясно, о каком множестве U идет речь, то пишут:

M = {x | P(x)}.

Вот несколько примеров задания множеств с помощью характеристического предиката.

Пример 1. Пусть N – множество натуральных чисел, и задано следующее множество:

M = {xN | x³–5x²+6x=0}.

Понятно, что M в данном случае можно задать и перечислением:

M = {2, 3}.

Пример 2. Множество четных чисел можно записать следующим образом:

M = {x | x – четное число}

или

M = {xZ | x – четно}.

Пример 3. Пусть имеет место следующая запись:

M = {x | xN, x>5, x<20, x – четное}.

В этом случае возможно следующее эквивалентное задание множества M с помощью перечисления:

M = {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.

Пример 5. Пусть задано множество A, содержащее всех студентов группы. Тогда множество студентов-отличников данной группы можно задать так:

M = {xA | x – отличник}.

На практике задание множества с помощью характеристического предиката наталкивается на затруднения, связанные с неоднозначностью человеческой речи. Большое число промежуточных форм затрудняет точное разграничение объектов на принадлежащие и не принадлежащие данному множеству. Пусть, например, речь идет о множестве всех деревьев на земном шаре. В первую очередь здесь надо определить, идет ли речь обо всех деревьях, которые существовали и будут существовать на Земле, или о деревьях, существовавших в течение некоторого фиксированного промежутка времени (например, с 1 июня 2012 года по 31 августа 2012 года). Но тогда возникает вопрос: как быть с деревьями, спиленными за этот период времени? Кроме того, существует целый ряд промежуточных форм между деревьями и другими растениями, и надо решить, какие из них относятся ко множеству деревьев, а какие – нет.

Таким образом, характеристический предикат должен быть составлен таким образом, чтобы элементы множества определялись точно и без противоречий и их состав не вызывал сомнений.

Задание множества с помощью порождающей процедуры описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Формальная запись имеет следующий вид:

M = {x | x:=f}.

Вот несколько примеров данного способа:

M = {x | x=2n+1, nN}

M = {x | x=a+b, aA, bB}

M = {x | x=2^k, k=1, 4, 7, 10…}

Два множества считаются равными (пишут A=B), если состоят из одних и тех же элементов. Например, множества A={1, 2, 3, 4, 5} и B={4, 1, 5, 3, 2} равны, поскольку порядок перечисления элементов во множестве не имеет значения (главное, что они там есть). Если же хотя бы один элемент присутствует только в одном из двух множеств, то такие множества считаются неравными (AB). Примеры неравных множеств:

A={1, 2, 3} и B={1, 2, 3, 4};

A={1, 2, 3} и B={1, 2};

A={1, 2, 3} и B={1, 2, 4};

A={1, 2, 3} и B={5, 6, 7};

A={1, 2, 3} и B={пн, вт, ср}.

A={пн, вт, ср} и B={ср, чт, пт}.