Аксиомы и законы алгебры логики

Номер аксиомы

Формулировка

Пояснения

A₁

x=0, если x1

Булева переменная всегда равна нулю либо единице

A₂

x=1, если x0

A₃

x=0, если =1

Инверсное значение переменной x противоположно ее прямому значению

A₄

x=1, если =0

A₅

00=0

Правила выполнения логического умножения (конъюнкции)

A₆

11=1

A₇

01=10=0

A₈

00=0

Правила выполнения логического сложения (дизъюнкции)

A₉

11=1

A₁₀

01=10=1

№

Формулировка

Пояснения

1. Идентичность

T₁

x  0 = x

Доказательство теоремы T₁ следует из аксиом A₈ и A₁₀, в которых первое слагаемое заменено на x. Теорема T₁ говорит, что из булева выражения можно удалить часть, равную нулю и связанную с остальным выражением операцией дизъюнкция.

T₂

x  1 = x

Теорема T₂ доказывается на основе аксиом A₆ и A₇ и говорит, что из булева выражения можно удалить часть, равную единице и связанную с остальным выражением операцией конъюнкция.

2. Наличие нулевых элементов

T₃

x  1 = 1

Теорема T₃ следует из A₉ и A₁₀, свидетельствуя о том, что если какая-то часть булева выражения, связанная с остальным выражением операцией дизъюнкция, равна единице, то и все выражение равно единице.

T₄

x  0 = 0

Теорема T₄ следует из A₅ и A₅, свидетельствуя о том, что если какая-то часть булева выражения, связанная с остальным выражением операцией конъюнкция, равна нулю, то и все выражение равно нулю.

3. Идемпотентность

T₅

x  x = x

x  x  .. . x = x

Теорема T₅ следует из A₅ и A₉ и свидетельствует, что добавление или удаление идентичных частей булева выражения, связанных операцией дизъюнкция с остальной частью выражения, не меняет значения булева выражения.

T₆

x  x  ...  x = x

Теорема T₆ следует из A₅ и A₆ и свидетельствует о том, что умножение булева выражения на само себя не меняет значения булева выражения.

4. Эволюция (двойное отрицание)

T₇

= x

Теорема T₇ доказывается последовательным применением аксиом A₃ и A₄. Из T₇ следует, что двойное отрицание булева выражения не меняет его значения. Таким образом, любое четное число отрицаний булева выражения может быть введено или удалено без изменения значения выражения.

5. Дополняемость

T₈

x  = 1

Дизъюнкция двух взаимообратных выражений всегда равна единице независимо от значений выражений. Если x=0, то =1 и x =01=1; если x=1, то =0 и x =10=1.

T₉

x  = 0

Конъюнкция двух взаимообратных выражений всегда равна нулю независимо от значений выражений. Если x=0, то =1 и x& =0&1=0; если x=1, то =0 и x =1&0=0.

6. Ассоциативность

T₁₀

(ab)c = a(bc)

Теоремы T₁₀ и T₁₁ аналогичны теоремам обычной алгебры и свидетельствуют о том, что значение булева выражения не зависит от порядка вычисления значений его частей.

T₁₁

(ab)c = a(bc)

7. Коммутативность

T₁₂

a  b = b  a

Теоремы T₁₂ и T₁₃ свидетельствуют о том, что перестановка членов булева выражения не меняет его значения. Эти теоремы аналогичны теоремам обычной алгебры.

T₁₃

a  b = b  a

8. Дистрибутивность

T₁₄

ab  ac = a(bc)

Теорема T₁₄ представляет собой процесс вынесения общей переменной за скобки.

T₁₅

(ab)(ac) = a  bc

Теорема T₁₅ не имеет своего аналога в обычной алгебре, но ее справедливость может быть доказана на основе рассмотренных выше аксиом и теорем.

9. Поглощение

T₁₆

a  ab = a

Теоремы T₁₆ и T₁₇ позволяют уменьшить число членов булева выражения.

T₁₇

a(ab) = a

10. Склеивание

T₁₈

ab  a = a

Теоремы T₁₈ и T₁₉ также позволяют уменьшить число членов булева выражения.

T₁₉

(ab)  (a ) = a

11. Законы Де Моргана

T₂₀

Теоремы Де Моргана имеют важнейшее значение в алгебре логики. Их суть заключается в замене одной операции на другую: операции дизъюнкция на операцию конъюнкция, или наоборот. Понятно, что просто так подобную замену сделать нельзя, поскольку операции совершенно разные и результирующее выражение будет отличаться от исходного. Поэтому для сохранения эквивалентности выражений после замены одной операции на другую над каждым элементом выражения должна быть поставлена инверсия, и над всем выражением также должна быть поставлена инверсия.

T₂₁