Отношение порядка

В математике широко используются отношения, которые определяют некоторый порядок расположения элементов множества. Например:

– имеющееся в магазине множество продуктов продавец должен продавать в следующем порядке: сначала те продукты, для которых наиболее близок конец срока годности, затем более свежие продукты и т.д.

– при подготовке лабораторных работ студент должен сначала выполнить те работы, срок сдачи которых наиболее близок, затем менее срочные работы и т.д.

– при подготовке к походу рюкзак нужно собирать в следующем порядке: на дно кладутся вещи, которые будут наименее востребованы, затем вещи, которые будут использоваться чаще, и т.д.

Во всех этих случаях можно расположить элементы или группы элементов множества в некотором порядке (в виде убывающей или возрастающей последовательности), то есть ввести отношение порядка на множестве.

Различают отношения строгого порядка, для которых применяются символы >, , и отношения нестрогого порядка, где используются символы , .

Эти отношения характеризуются следующими свойствами:

Для отношения строгого порядка:

1) a<a – ложно (антирефлексивность);

2) a<b и b<a взаимоисключаются (несимметричность);

3) a<b и b<c  a<c – истина (транзитивность).

Для отношения нестрогого порядка:

1) aa – истинно (рефлексивность);

2) ab и ba  a=b (антисимметричность);

3) ab и bc  ac (транзитивность).

Если отношение порядка выполняется не для всех пар элементов, то отношение называется отношением частичного (строгого или нестрогого) порядка, а множество – частично упорядоченным.

Множество называется полностью упорядоченным (линейно упорядоченным, цепью), если любые два его элемента a и b сравнимы между собой, то есть для них выполняется одно из условий: a<b, a=b, a>b. Говорят, что на упорядоченном множестве задано отношение полного порядка или отношение линейного порядка. Если между каждой парой элементов упорядоченного множества можно установить отношение строгого или нестрогого порядка, говорят, что на множестве задано отношение полного строгого (нестрогого) порядка.

Упорядоченное множество по своей сути является кортежем: место каждого элемента во множестве строго определено и не может изменяться.

Примеры упорядоченных множеств привести несложно. Например:

– на множестве натуральных чисел N можно задать отношение строгого порядка «<» или «>»;

– расположение студентов по росту является заданием отношения нестрогого порядка, поскольку возможны студенты с одинаковым ростом;

– зачисление студентов в университет по набранным баллам является отношением нестрогого порядка, поскольку возможны студенты с одинаковыми баллами.

Отношение доминирования

Если при зачислении студентов в университет по набранным баллам два студента с одинаковыми баллами претендуют на зачисление, то руководством университета могут быть проанализированы какие-нибудь другие характеристики студентов, в соответствии с которыми можно отдать предпочтение одному из студентов. Такими характеристиками могут быть призовые места на олимпиадах, заслуги в спорте, различные социальные льготы.

Пусть на упорядоченном множестве A задано отношение Q. Говорят, что элемент aA доминирует (в чем-либо превосходит, имеет приоритет) над bA (обозначается a»b), если aQb, ab и не существует такого элемента cA, что aQc и cQb. Подобное отношение называют отношением доминирования.

Очевидно, что отношение доминирования не обладает свойством транзитивности. Если, например, элемент a по каким-либо параметрам предпочтительнее элемента b, а элемент b по каким-либо другим параметрам предпочтительнее элемента c, то отсюда еще не следует, что элемент a предпочтительнее элемента c. Например, Иванов выиграл соревнование у Петрова, а Петров – у Сидорова. Однако это не значит, что Иванов обязательно выиграет соревнование у Сидорова.

Также отношение доминирования обладает свойствами антирефлексивности (элемент a не может доминировать над самим собой) и антисимметричности (если выполняется a»b, то b»a не выполняется).