6. Универсальные модели алгоритмов.

Интуитивное определение алгоритма эффективно работает, когда речь идет об уже найденном алгоритме решения задачи.

Положение существенно меняется, если возникает проблема решения, которое не найдено и требуется установить, существует ли алгоритм для решения данной задачи.

В этом случае надо доказать либо существование искомого алгоритма либо его отсутствие.

Существование алгоритма решения массовой задачи можно установить путем фактического описания процесса, решающего данную задачу. В этом случае достаточно интуитивного понятия алгоритма, чтобы удостовериться, что описанный процесс – есть алгоритм.

Для этого достаточно определить выполняются ли все перечисленные свойства, которыми должен обладать алгоритм.

Доказать отсутствие решения алгоритмическим путем данной задачи невозможно. Для этого необходимо точное формальное определение алгоритма.

1) Первую универсальную модель алгоритма удалось получить Алонзо Черчу.

Тезис Черча гласит, что функция вычислима, если ее можно представить в виде рекурсивной функции.

Черчем было доказано, что все вычислимые функции представляют из себя общерекурсивные функции.

Тезис Черча нельзя ни доказать, ни опровергнуть, т.к. понятие вычислимой функции точно не определено.

В силу тезиса Черча вопрос о вычислимости функции равносилен вопросу о ее рекурсивности.

Понятие рекурсивной функции – это строгое математическое понятие. В силу этого можно строго доказать, что решающая конкретную задачу, функция не может быть рекурсивной.

Отсюда следует вывод, что не существует и алгоритма решения этой задачи.

Именно этим путем Черч доказал неразрешимость некоторых алгоритмических проблем логики предикатов.

2)Другим направлением развития универсальной модели алгоритмов следует считать машину Тьюринга.

Алан Тьюринг разработал модель универсальной вычислительной машины в 1936 году, когда никаких ЭВМ еще не было создано.

Машина Тьюринга не является конструктивным воплощением некоторой вычислительной машины, а является математической моделью универсального вычислителя.

С помощью машины Тьюринга можно моделировать любой вычислительный процесс. Существует тезис Тьюринга, который утверждает, что любой алгоритмический процесс может быть реализован на машине Тьюринга.

Тезис Тьюринга так же как и тезис Черча, нельзя ни доказать, ни опровергнуть, т.к. понятие вычислимой функции не имеет строгого определении.

Впоследствии оказалось, что класс задач, который решают рекурсивные функции и класс задач, который можно решить на машине Тьюринга – совпадают.

3) Третьим направлением разработки универсальных моделей алгоритмов является нормальные алгоритмы А.А. Маркова.

Академик Марков предложил универсальную модель алгоритмов, которая состоит в использовании обработки цепочки символов при помощи некоторых подстановок.

Т.к. любое вычисление можно свести к преобразованию символов, то универсальная модель Маркова представляет из себя математическую модель любого вычислительного процесса.

В последствии оказалось, что все 3 универсальные модели алгоритмов сводимы друг к другу и равноценны, поэтому можно считать, что они решают одни и те же задачи.