22. Теория комплектов.

Входы и выходы переходов - комплекты.

Комплект - обобщение множества, в которое включены повторяющиеся элементы.

Математический аппарат теории сетей Петри основан на теории Комплекта. Теория комплектов является дальнейшим научным развитием теории множеств.

Теорию множеств была предожена Георгом Кантером на первом всемирном конгрессе математиков в 1900 году. Георг Кантер определил множество четко и лаконично: «Множество есть многое, мыслимое как единое».

Для описания операций с множествами Кантер предложил особый математический аппарат, который в последствии получил название алгебра Кантера.

В теории множеств элемент может или принадлежать множеству M или не принадлежать этому множеству.

Комплект является набором предметов из некоторой области, в отличие от множества комплекты допускают наличие нескольких экземпляров одного и того же элементы. В отличие от множества, где любой элемент может или не входить в множество или входить в него один только раз, комплект допускает вхождение любого элемента заданное число раз.

Пусть область представляет собой совокупность элементов {a, b, c, d}, тогда над этой можно образовать комплект: b1 = {a, b, c}, b2 = { a,d} b3 = {a, a, b, b}, b4 = {a, b, a, b}

Таким образом комплекты b1 и b2 являются множествами, комплекты b3 и b4 равны между собой. Так как в комплекте, как и в множестве порядок перечисления элемента не имеет значения.

Основным понятием теории комплектов является функция числа вхождения данного экземпляра в комплект.

Обозначение #(x, B) означает количество вхождения элемента в комплект B, то есть число экземпляров x в комплекте B.

Если ограничить число элементов в комплекте следующим образом: 0 <= #(x, B) <= 1, то все комплекты будут множествами.

Элемент x является членом комплекта B, если #(x, B) > 0

Так же как и в теории множеств, в теории комплектов существует пустой комплект, не содержащий элементов.

#(x, B) = 0

В пустом комплекте для всех элементов x содержание элементов равно нулю.

Под мощностью |B| понимается количество всех элементов

|B| = сигма(индекс x)(x,B)

Комплект А является подкомплектом, если для любого элемента х, количество каждого элемента в копмлекте А меньше, чем комплекта В. A B

В предельном случае два комплекта равны тогда, когда количество любого элемента х в комплекте А равно количеству элементов х в комплекте В для всех х. A = B

Комплект А строго включен в комплект В, если А меньше или равно В и А неравно В

А B && A != B

Операции над комплектами

В отличии от теории множеств, над комплектами определены 4 операции.

Если заданы два комплекта А и В, то для них существуют следующие операции:

1) Объединение

AUB : max(#(x,A), #(x,B))

Объединение комплектов отличается от объединения в теории множеств.

2) Пересечение

А П B : min(#(x,A), #(x,B))

3) Сумма

А + В = #(x,A) + #(x,B))

4) Разность

А - В = #(x,A) - #(x,B))

В теории множеств – суммы и разности множеств не существует.

В разности комплектов необходимо, чтобы число элементов в комплекте А было больше чем число элементов в комплекте В, т.к. число элементов в комплекте не может быть отрицательным.

Можно показать, что объединение комплектов, пересечение комплектов и сумма комплектов как математические операции коммутативны и ассоциативны.

Справедливо следующее соотношение:

А П В A A U B

A П В B A U B

A – B A A + B

|A U B| <= |A| + |B|

|A + B| = |A| + |B|

Доказать геометрическим методом или методом рассуждения.

Назовем множество элементов, из которых составлены комплекты областью D.

Пространство комплектов Dⁿ – есть множество всех таких комплектов, что их элементы принадлежат D и ни один из элементов не входит в комплект более n раз.

Иначе говоря, для любого комплекта можно записать соотношение: B Dⁿ

Множество D есть множество всех комплектов над областью D без какого либо ограничения на число экзмеляров элементов в комплекте.