Передаточные функции импульсной системы в разомкнутом и замкнутом состоянии

При исследовании импульсной системы ее структуру приводят к расчетной схеме путем замены импульсного элемента последовательным соединением простейшего импульсного элемента (ПИЭ) и непрерывного фильтра, который называется формирующим элементом (ФЭ). Формирующий элемент объединяется с непрерывной частью системы в приведенную непрерывную часть.

Для нахождения передаточной функции разомкнутой импульсной САУ W^*(z) находим передаточную функцию приведенной непрерывной части:

К W(s) применяется Z-преобразование и получается передаточная функция импульсной системы W^*(z) = Z{W (s)}. Преобразуем W₀(s) к виду: . Представим W₀(s) в виде суммы двух слагаемых . Применим к W₀(s) Z-преобразование

Полученную передаточную функцию в конечном виде можно представить следующим образом:

где обозначено

Передаточные функции замкнутой системы находятся по выражениям:

Алгебраические критерии устойчивости импульсной системы

При использовании алгебраического критерия устойчивости рассматривается характеристический полином замкнутой импульсной системы, и исследуются его корни на соответствие условию устойчивости.

Характеристический полином замкнутой импульсной системы является полиномом от e^pT и исследование его корней имеет свои особенности

где pi, i=1,2...n - корни характеристического полинома.

Целесообразно задачу свести к использованию алгебраического критерия Гурвица. Выполним замену переменных

И получим новое выражение для характеристического полинома

Для нового полинома условие преобразуется в условие vi<1 в силу избранного соотношения между переменными.

Произведем еще одну замену переменной одновременно умножив полином на (u-1)ⁿ. При этом получим

После раскрытия скобок и приведения подобных членов характеристический полином преобразуется к следующему виду

Алгебраический критерий устойчивости замкнутой импульсной системы формулируется в следующем виде: замкнутая импульсная система будет устойчива при положительности всех коэффициентов Ai характеристического полинома G*₂(u) и при положительности всех определителей, составленных из этих коэффициентов на основании таблицы Гурвица.

Частотные критерии устойчивости импульсной системы

При использовании критерия Михайлова: Если годограф характеристического вектора проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.

Влияние на устойчивость импульсной системы квантования по времени

Замкнутая устойчивая непрерывная система может стать неустойчивой при квантовании (переходе к импульсной системе).

В частности, устойчивость импульсной системы зависит от выбора шага Т квантования по времени. Обычно при чрезмерном увеличении Т устойчивая импульсная система теряет устойчивость. Например, в чисто импульсной системе с инерционным объектом и интегратором в ООС: ( К_имп=(1- e^-T/T1)К_непр)

нетрудно получить характеристическое уравнение:

Необходимым и достаточным условием устойчивости корней этого

уравнения является следующее: e^-T/T1+ kT < 1.

Видно, что с увеличением Т условие может быть нарушено.