Векторное произведение в координатной форме. Площадь параллелограмма, построенного на двух векторах в пространстве.
Если два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами
a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2},
то векторное произведение этих векторов имеет вид
или
Если два вектора a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2}, коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т. е.
Длина (или модуль) векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.
Смешанное произведение векторов. Его выражение через координаты сомножителей. Свойства смешанного произведения. Условие компланарности трех векторов. Геометрический смысл смешанного произведения.
Пусть даны три произвольных вектора a, b и c. Если вектор a векторно умножается на вектор b, а затем получившийся при этом вектор [ab] скалярно умножается на вектор c, то в результате получается число [ab]c, называемое смешанным произведением векторов a, b и c.
Если векторы a, b, c заданы своими координатами: a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2}, с = {X3, Y3, Z3}, то смешанное произведение [ab]c определяется формулой:
Три вектора компланарны их смешанное произведение = 0.
Смешанное произведение [ab]c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему
началу векторах a, b и c, взятому со знаком плюс, если тройка abc правая, и со знаком минус, если тройка abc левая. Если же векторы a, b и c компланарны, то [ab]c равно нулю.
Свойства:
Справедливо равенство [ab]c = a[bc].
Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.
Уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Геометрический смысл коэффициентов при неизвестных.