Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Орт вектора. Координаты орта. Косинусы направления.
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора. Для обозначения модуля вектора используются две вертикальные линии слева и справа | |.
Величина М1М2 направленного отрезка М1М2 равна x2 — х1 т. е. М1М2 = х2-х1.
Рассмотрим
в пространстве декартову систему
координат Oxyz
и точки M1(x1,y1,z1)
и М2{х2, у2, z2)
Расстояние ρ(М1,
М2)
между точками М1
и М2,
равное длине направленного отрезка
,
равно также длине диагонали параллелепипеда,
грани которого параллельны координатным
плоскостям и проходят через точки М1
и М2.
Длина параллельного оси Ох ребра этого
параллелепипеда равна, абсолютной
величине проекции отрезка М1М2
на ось Ох, т. е., согласно формуле равна
|x1
—x2|.
По аналогичным соображениям длины
ребер, параллельных осям Оу и Oz,
равны соответственно |y2
— y1|
и |z2
— z1|.
Используя теорему Пифагора, получим следующую формулу для ρ(М1, М2):
ρ(М1,
М2)
=
Формула расстояния между двумя точками в случае их расположения в плоскости Оху имеет следующий вид:
ρ(М1, М2) =
Ортом произвольного ненулевого вектора c назовем единичный вектор, коллинеарный c и имеющий одинаковое с c направление.
Координаты орта -
координаты a0(
),
где a0 орт
вектор.
Косинусы направления вектора - это косинусы углов, которые образует вектор с осями координат.
Линейные операции над векторами в координатной форме. Условие коллинеарности двух векторов. Деление отрезка в данном отношении и, в частности, пополам.
Линейные операции над векторами в координатной форме:
a={X1,Y1,Z1}, b={X2,Y2,Z2}.
Сложение. a + b={X1 + X2; Y1 + Y2; Z1+ Z2};
Разность. a - b={X1 - X2; Y1 - Y2; Z1- Z2};
Умножение. α*a={α*X1; α*Y1; α*Z1};
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов a={X1,Y1,Z1} и b={X2,Y2,Z2} является пропорциональность координат:
Рассмотрим
в пространстве две различные точки
и
и прямую, определяемую этими точками.
Выберем на этой прямой некоторое
направление. На полученной оси точки
M1
и M2
определяют направленный отрезок
.
Пусть М — любая отличная от
точка указанной выше оси. Число
λ=
называется
отношением, в котором точка M
делит направленный отрезок
.
Таким образом, любая, отличная от M2
точка M делит отрезок в некотором отношении λ, где λ определяется равенством λ= .
Согласно
М1М2
= х2-х1,
получаем М1M
= x
— x1,
a
MМ2
= x2—
х,
следовательно λ=
=>
x=
Совершенно аналогично вычисляются координаты y и z точки M.
Таким
образом: x=
,
y=
,
z=
.
Эти формулы называются формулами деления отрезка в данном отношении λ.
Очевидно,
если λ=1, то точка М делит отрезок
пополам. Получающиеся формулы (из
соотношений x=
,
y=
,
z=
)
называются формулами деления отрезка
пополам.
x=
,
y=
,
z=
.
Скалярное произведение двух векторов. Его определение через взаимные прямоугольные проекции. Неравенство Коши.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов a и b будем обозначать символом ab. Если угол между векторами a и b равен ϕ, то по определению скалярное произведение этих двух векторов выражается формулой
ab = |a||b|cosϕ.
Т.к. проекция вектора b на ось u равна длине вектора b, умноженной на косинус ϕ угла наклона вектора b
к оси u, то ab = |a||b|cosϕ = |a|прba
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного
из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.
Неравенство Коши.
Рассмотрим вектор (xb-a)2
