38. Колебательное движение. Гармонические колебания. Векторная диаграмма.

Колебательное движение – это периодическое движение, которое совершается поочерёдно в двух противоположных направлениях.

Кинематика гармонических колебаний

Уравнение гармонических колебаний: ,

где - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t - время; , и - соответственно амплитуда, угловая частота и начальная фаза колебаний; - фаза колебаний в момент времени t.

Скорость точки при гармонических колебаниях: ,

Максимальная скорость точки при гармонических колебаниях: ,

Ускорение точки при гармонических колебаниях: ,

Максимальное ускорение точки при гармонических колебаниях: ,

Кинетическая энергия точки при гармонических колебаниях: ,

Максимальная кинетическая энергия точки при гармонических колебаниях:

Потенциальная энергия точки при гармонических колебаниях:

Максимальная потенциальная энергия точки при гармонических колебаниях: ,

Закон сохранения энергии при механических колебаниях: ,

Динамика гармонических колебаний

Результирующая сила, действующая на точку при гармонических колебаниях:

, где - коэффициент жёсткости.

Максимальная сила, действующая на точку при гармонических колебаниях:

.

Период колебаний математического маятника: .

Период пружинного математического маятника: .

Связь периода гармонических колебаний с частотой и циклической частотой колебаний: .

39. Маятники (математический, физический, оборотный).

Ма́ятник — система, подвешенная в поле тяжести и совершающая механические колебания. Колебания совершаются под действием силы тяжести, силы упругости и силы трения. Во многих случаях трением можно пренебречь, а от сил упругости (либо сил тяжести) абстрагироваться, заменив их связями.

Во время колебаний маятника происходят постоянные превращения энергии из одного вида в другой. Кинетическая энергия маятника превращается в потенциальную энергию (гравитационную, упругую) и обратно. Кроме того, постепенно происходит диссипация кинетической энергии в тепловую за счёт сил трения.

Одним из простейших маятников является шарик, подвешенный на нити. Идеализацией этого случая является математический маятник — механическая система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести.

Если размерами массивного тела пренебречь нельзя, но всё еще можно не учитывать упругих колебаний тела, то можно прийти к понятию физического маятника. Физический маятник — твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс этого тела.

Система из нескольких шариков, подвешенных на нитях в одной плоскости, колеблющихся в этой плоскости и соударяющихся друг с другом, называетсямаятником Ньютона. Здесь уже приходится учитывать упругие процессы.

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомойнерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины Lнеподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит^[2] от амплитуды колебаний и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где   ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция   ― это угол отклонения маятника в момент   от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах;  , где   ― длина подвеса,   ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

.

Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

.

Полагая  , предыдущее уравнение можно переписать в виде:

.

Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной  . Величина   называется приведённой длиной физического маятника.

•  — угол отклонения маятника от равновесия;

•  — начальный угол отклонения маятника;

•  — масса маятника;

•  — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;

•  — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

•  — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

.

ОБОРОТНЫЙ МАЯТНИК - прибор для эксперим. определения ускорения свободного падения g. Представляет собой физ. маятникв виде, напр., массивной пластины (рис.) с двумя трёхгранными ножами, из к-рых один неподвижен, а другой может перемещаться вдоль прорези на пластине. Острые рёбра ножей О₁ и О₂, помещаемые попеременно на неподвижную опору, служат осями качаний О. м. Подвижный нож перемещают вверх или вниз до тех пор, пока периоды колебаний О. х. вокруг каждой из осей не совпадут. Расстояние О₁О₂ = l между осями измеряют с помощью нанесённой на пластину шкалы с нониусом. Тогда по свойствам физ. маятникаО₂ будет для О₁ центром качаний, и наоборот, а период малых колебаний О. м. будет при этом равен  Зная значения Т и l из опыта, можно по данной ф-ле вычислить g. О. м. позволяет определить величину g со значительно более высокой степенью точности, чем матем. маятник.

40. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде   (1)  где α — разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул (1) времени t. Записывая складываемые колебания как      и заменяя во втором уравнении   на   и   на   , найдем после несложных преобразований уравнение эллипса, у которого оси ориентированы произвольно относительно координатных осей:   (2)  Поскольку траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.  Размеры осей эллипса и его ориентация зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи, которые представляют для нас физический интерес:  1) α = mπ (m=0, ±1, ±2, ...). В этом случае эллипс становится отрезком прямой   (3)  где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m (рис. 1а), а знак минус — нечетным значениям m (рис. 2б). Результирующее колебание есть гармоническое колебание с частотой ω и амплитудой , которое совершается вдоль прямой (3), составляющей с осью х угол . В этом случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;  2) α = (2m+1)(π/2) (m=0, ± 1, ±2,...). В этом случае уравнение станет иметь вид   (4)  Это есть уравнение эллипса, у которого оси совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 2). Если А=В, то эллипс (4) превращается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.  Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний имеют различные значения, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, которая совершает одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих замкнутых кривых зависит от соотношения амплитуд, разности фаз и частот складываемых колебаний. На рис. 3 даны фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (даны слева) и разностей фаз (даны вверху; разность фаз равна φ).  Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, которые параллельны осям координат. По виду фигур можно найти неизвестную частоту по известной или найти отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко применяемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.