33. Релятивистский импульс. Релятивистское выражение для энергии. Релятивистский импульс

Выражение, обеспечивающее инвариантность закона сохранения импульса, может быть получено, если вместо времени t подставить собственное время τ.

Тогда  .

 

Релятивистское выражение для энергии

В релятивистской механике справедливым остается выражение

.                                                                                 

Это означает, что  . Откуда видно, что сила не является инвариантной величиной. Кроме того, сила F и ускорение a не коллинеарны.

 

Легко получить выражение для кинетической энергии. Поскольку

dE_k = dA  и dE_k = v·p·dt, dA = F·ds

.                                                               

 

Отсюда следует, что E₀ = mc² является энергией покоя. Энергия и импульс в релятивистской механике не сохраняются. Инвариантом является выражение:

                                                                

Взаимосвязь массы и энергии. Границы применимости механики Ньютона.

34. Преобразование импульса и энергии. Взаимосвязь массы и энергии покоя. Частицы с нулевой массой.

Преобразования импульса и энергии.

 

Если в соотношении (8.3) учесть выражения для релятивистской энергии (8.10) и энергии покоя (8.12), то получим

 

                                                ,                                                     (8.14)

 

которая выражает связь между энергией и импульсом в релятивистской механике. Заметим, что величина

 

                                           ,                                                    (8.15)

 

которая является квадратом энергии покоя частицы, инвариантна относительно преобразований Лоренца, хотя релятивистский импульс и энергия меняются при переходе  . Эти формулы преобразования можно получить, пользуясь формулами преобразования релятивистских скоростей. Например,

 

 

 

Подобным же образом получим остальные преобразования:

 

     .                                    (8.16)

 

 

Заметим, что величины

 

                                                                           (8.17)

 

 

преобразуются по одним и тем же формулам, что и координаты события x, y, z, t, т.е. составляют лоренцева группу.

Нетрудно проверить, пользуясь формулами преобразования энергии и импульса (8.16), что

 

 

                    ,                                       (8.15´)

 

 

которое с точностью до постоянного множителя    совпадает с (8.15).

Приведем еще два полезных соотношения. Из формул релятивистской энергии и импульса следует, что

 

                                                                               (8.18)

 

 

а с учетом (8.11) из (8.15) получаем

 

 

                        .                                         (8.19)

 

 

Последнее есть связь между кинетической энергией и импульсом в релятивистской механике. В случае медленных движений частицы, когда  , (8.19) дает классическую связь кинетической энергии и импульса:

 

                              ,                                               (8.20)

 

а  в противоположном пределе -   (ультрарелятивистское движение)-

 

 

                               .                                                  (8.21)

 

Взаимосвязь массы и энергии покоя

Масса и энергия покоя связаны уравнением:   E = mc2  (8.6.1)   из которого вытекает, что всякое изменение массы  Δm  сопровождается изменением энергии покоя  ΔE0 : ΔE0 = Δm c2        Это утверждение носит название закона взаимосвязи массы и энергии покоя, оно стало символом современной физики.        Взаимосвязь между массой и энергией оценивалась А. Эйнштейном как самый значительный вывод специальной теории относительности. По его выражению, масса должна рассматриваться как «сосредоточение колоссального количества энергии». При этом масса в теории относительности не является более сохраняющейся величиной, а зависит от выбора системы отсчета и характера взаимодействия между частицами.        Определим энергию, содержащуюся в 1 г любого вещества, и сравним ее с химической энергией, равной  2,9·104 Дж, получаемой при сгорании 1 г угля. Согласно уравнению Эйнштейна E = mc2, имеем        Таким образом, собственная энергия в 3,1·108 раз превышает химическую энергию.        Из этого примера видно, что если высвобождается лишь одна тысячная доля собственной энергии, то и это количество в миллионы раз больше того, что могут дать обычные источники энергии.         Суммарная масса взаимодействующих частиц не сохраняется.        Рассмотрим другой пример. Пусть две одинаковые по массе частицы m движутся с одинаковыми по модулю скоростями навстречу друг другу и абсолютно не упруго столкнутся.        До соударения полная энергия каждой частицы Е равна:  . Полная энергия образовавшейся частицы  Mc2. Эта новая частица имеет скорость  υ = 0.         Из закона сохранения энергии: , отсюда М равно:    (8.6.2)          Таким образом, сумма масс исходных частиц 2m меньше массы образовавшейся частицы М. В этом примере, кинетическая энергия частиц превратилась в эквивалентное количество энергии покоя, а это привело к возрастанию массы: . (это при отсутствии выделения энергии при соударении частиц).        Выражение «масса покоя» можно употребить как синоним «энергия покоя».        Пусть система (ядро) состоит из n частиц с массами  m1,  m1, ...,  mn. Ядро не будет распадаться на отдельные частицы, если они связаны друг с другом. Эту связь можно охарактеризовать энергией связи  Eсв. Энергия связи – энергия, которую нужно затратить, чтобы разорвать связь между частицами и разнести их на расстояние, при котором взаимодействием частиц друг с другом можно пренебречь.    (8.6.3)   где ΔM = m1 + m2 + ... + mn ;  ΔM – дефект массы.        Видно, что  Eсв  будет положительна, если   , что и наблюдается на опыте.        При слиянии частиц энергия связи высвобождается (часто в виде электромагнитного излучения). Например, ядро  U238 имеет энергию связи Eсв = 2,9·10-10 Дж ≈ 1,8·109 эВ = 1,8 ГэВ.