56. Характер теплового движения молекул. Число ударов молекул о стену. Определение Перреном постоянной Авогадро.
Тепловое движение молекул. Наиболее убедительный факт – броуновское движение молекул. Броуновское движение молекул подтверждает хаотический характер теплового движения и зависимость интенсивности этого движения от температуры. Впервые беспорядочное движение мелких твердых частиц, наблюдал английский ботаник Р.Броун в 1827 году, рассматривая взвешенные в воде твердые частички – споры плауна. Обратить внимание учащихся на то, что движение спор происходит по прямым, составляющим ломанную линию. С тех пор, движение частиц в жидкости или газе называется броуновским. Провести стандартный демонстрационный эксперимент "Наблюдение броуновского движения", используя круглую коробочку с двумя стеклами.
Изменяя температуру жидкости или газа, например, увеличивая ее, можно увеличить интенсивность броуновского движения. Броуновская частица движется под действием ударов молекул. Объяснение броуновского движения частицы состоит в том, что удары молекул жидкости или газа о частицу не компенсируют друг друга. Количественная теория броуновского движения была разработана Альбертом Эйнштейном в 1905 году. Эйнштейн показал, что средний квадрат смещения броуновской частицы пропорционален температуре среды, зависит от формы и размеров частицы и прямо пропорционален времени наблюдения. Французский физик Ж.Перрен провел серию опытов, которые количественно подтвердили теорию броуновского движения.
Расчет числа ударов о стенку сосуда. Рассмотрим идеальный одноатомный газ, находящийся в равновесии в сосуде объемом V. Выделим молекулы, имеющие скорость от v до v + dv. Тогда число молекул, движущихся в направлении углов и с этими скоростями будет равно:
dNv,, = dNv·d/4. (14.8)
Выделим элементарную поверхность площадью dП., которую примем за часть стенки сосуда. За единицу времени до этой площади дойдут молекулы, заключенные в косом цилиндре с основанием dП и высотой v·cos ( см. рис. 14.3). Число пересечений выбранными нами молекулами выделенной поверхности (число ударов о стенку) в единицу времени dv,, будет равно произведению концентрации молекул на объем этого косого цилиндра:
dv,, = dП·v·cos ·dNv,,/V, (14.9) где V - объем сосуда, в котором содержится газ.
Проинтегрировав выражение (14.9) по углам в пределах телесного угла 2, что соответствует изменению углов и в диапазоне от 0 до /2 и от 0 до 2соответственно, получим формулу для расчета полного числа ударов молекул, имеющих скорости от v до v + dv о стенку.
.
(14.10)
Проинтегрировав выражение по всем скоростям получим, что число ударов молекул о стенку площадью dП в единицу времени будет равно:
.
(14.11)
Учитывая определение средней скорости получим, что число ударов молекул о стенку единичной площади в единицу времени будет равно:
= N/V·<v>/4 = n·<v>/4.
Распределение Больцмана, то есть распределение частиц во внешнем потенциальном поле, может быть использовано для определения констант, используемых в молекулярной физике. Один из самых важных и знаменитых экспериментов в этой области - это работы Перрена по определению числа Авогадро. Так как молекулы газов не видны даже в микроскоп, то на эксперименте использовались гораздо большие по размеру броуновские частицы. Эти частицы помещались в раствор, в котором на них действовала выталкивающая сила. При этом уменьшалась сила тяжести, действующая на броуновские частицы, и тем самым распределение частиц по высоте как бы растягивалось. Это давало возможность наблюдать это распределение в микроскоп.
Одна из трудностей состояла в получении взвешенных частиц совершенно одинакового размера и формы. Перрен пользовался частицами гуммигута и мастики. Растирая гуммигут в воде. Перрен получал эмульсию ярко-желтого цвета, в которой при наблюдении в микроскоп можно было различить множество зернышек сферической формы. Вместо механического растирания Перрен обрабатывал также гуммигут или мастику спиртом, растворяющим эти вещества. При разбавлении такого раствора большим количеством воды получалась эмульсия из таких же сферических зернышек, что и при механическом растирании гуммигута. Для отбора зернышек совершенно одинакового размера Перрен подвергал взвешенные в 1воде частицы многократному центрифугированию и таким путем получал весьма однородную эмульсию, состоящую из шарообразных частиц с радиусом порядка микрометра. Обработав 1 кг гуммигута, Перрен получил через несколько месяцев фракцию, содержавшую несколько дециграммов зерен желаемого размера. С этой фракцией и были выполнены описываемые здесь опыты.
При изучении эмульсии надо было производить измерения при ничтожных разностях высот - всего в несколько сотых миллиметра. Поэтому распределение концентрации частиц по высоте исследовалось с помощью микроскопа. К предметному стеклу микроскопа (изображено на рисунке) приклеивалось очень тонкое стекло с просверленным в нем широким отверстием. Таким путем получалась плоская ванночка (кювета Цейсса (1816—1886)), высота которой была около 100 мкм (0,1 мм). В центре ванночки помещалась капля эмульсии, которая тотчас сплющивалась покровным стеклом. Чтобы избежать испарения, края покровного стекла покрывались парафином или лаком. Тогда препарат можно было наблюдать в течение нескольких дней или даже недель. Препарат помещался на столике микроскопа, тщательно установленного в горизонтальном положении. Объектив был очень сильного увеличения с малой глубиной фокуса, так что одновременно можно было видеть только частицы, находящиеся внутри очень тонкого горизонтального слоя с толщиной порядка микрометра. Частицы совершали интенсивное броуновское движение. Фокусируя микроскоп на определенный горизонтальный слой эмульсии, можно было сосчитать число частиц в этом слое. Затем микроскоп фокусировался на другой слой, и снова считалось число видимых броуновских частиц. Таким путем можно было определить отношение концентраций броуновских частиц на разных высотах. Разность высот измерялась микрометрическим винтом микроскопа.
Теперь перейдем к конкретным расчетам. Так как броуновские частицы находятся в поле сил тяжести и Архимеда, то потенциальная энергия такой частицы
U = (p - p)Vgh.
В этой формуле p - плотность гуммигута, p - плотность жидкости, V - объем частицы гуммигута. Начало отсчета потенциальной энергии выбрано на дне кюветы, то есть при h = 0. Распределение Больцмана для такого поля запишем в виде
u_U0 (p-p')Vgh
n(h) = n0e kT = n0e kT . Напомним, что n - число частиц в единице объема на высоте h, а n0 - число частиц в единице объема на высоте h = 0.
W
Число шариков AN, видимых в микроскоп на высоте h, равно n(h)SAh, где S - площадь видимой части эмульсии, а Ah - глубина резкости микроскопа ( в опыте Перрена эта величина составляла 1 мкм). Тогда отношение чисел частиц на двух высотах h1 и h2 запишем так:
AN1 = ( (p-p')Vg(h2 _ h1) — exp
AN2 ^ kT
Вычислив логарифм от обеих частей равенства и произведя несложные вычисления, получаем значение постоянной Больцмана, а, затем и числа Авогадро:
RTlnf AN-1
R
Na = - =
AN2 У
k (p_p')Vg(h2 _ h1)
При работе в различных условиях и с различными эмульсиями Перрен получил значения постоянной Авогадро в диапазоне от 6.5 1023 до 7.2 1023 моль-1. Это было одним из прямых доказательств молекулярно - кинетической теории, в справедливость которой в то время верили далеко не все ученые.