45. Метод функции Ляпунова. Теорема Четаева.
Метод функции Ляпунова:
Св-ва ф-ции Ляпунова:
1. Ф-ция в начале имеет min.
2.
Произв-ная ф-ции Ляпунова составляется
в силу системы уравнений Ляпунова.
Имеет строгий max
в начале координат. Точка покоя
асимптотически устойчива.
Теорема Четаева: теорема об неустойчивости точки покоя или нулевое решение системы ур-й Ляпунова.
Если сущ-ет функция, удовл-ая след-им условиям:
1) V(0;0;…;0)=0 и как угодно близко к началу координат, есть точка, которая функционально больше 0.
2) Производная функции в начале координат имеет строгий min.
46. Основные уравнения математической физики: волновое, теплопроводности, Пуассона, Лапласа.
Волновое:
Теплопроводности:
Лапласа:
Пуассона: уравнение с частными производными вида Δu = f, где Δ — оператор Лапласа:
Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы
Арифметические действия с комплексными числами в алгебраической форме.
Арифметические действия с комплексными числами в тригонометрической форме.
Возведение комплексного числа в степень (формула Муавра).
Извлечение корня n-ной степени из комплексного числа.
Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Степень числа с комплексным показателем.
Предел последовательности комплексных чисел. Свойства сходящихся последовательностей.
Функция комплексного переменного.
Предел, непрерывность комплексного переменного.
Производная функция комплексного переменного, аналитичность функции, условия Коши-Римана.
Геометрический смысл функции комплексных переменных
Понятия комфортного отображения
Элементарные функции комплексного переменного: ez, sin z, cos z.
Степенная функция.
Гиперболические функции.
Логарифмическая функция.
Общая показательная функция.
Обратные тригонометрическая и гиперболическая функция.
Гармонические функции
Интегральные функции комплексного переменного: свойства, вычисления.
Интеграл по контуру
;
n=1;
n˃1;
n˂1.Теорема Коши
Теорема Коши для многосвязной области
Интеграл от аналитической функции. Первообразная и неопределенный интеграл, формула Ньютона – Лейбница.
Интегральная формула Коши. Производная n– ого порядка от аналитической функции.
Ряд Тейлора и ряд Лорана.
Регулярные и особые точки функции. Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции.
Вычет функции. Основная теорема о вычетах.
Вычет функции …… простого полюса и полюса порядка m.
Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.
Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.
Интегральное преобразование Лапласа.
Оригиналы и изображения.
Свойства преобразования Лапласа: теорема линейности и дифференцирования оригинала.
Теорема затухания; Дифференциация по периметру; Подобия и запаздывания.
Операционный метод решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом.
Операционный метод решения систем линейных уравнений.
Восстановление оригинала по изображению: элементарный метод.
Обратное преобразование Лапласа. Теорема обращения.
Восстановление оригинала по изображению с использованием теоремы разложения.
Системы обыкновенных дифференцированных уравнений. Нормальные системы. Линейные системы (однородные и неоднородные). Общее решение систем дифференцированных уравнений.
Линейные однородные дифференцированные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение систем. Характеристическое уравнение. Решение системы для случая действительных и различных корней характеристического уравнения.
Устойчивость решений систем обыкновенных дифференцированных уравнений. Устойчивость решения (движение системы) по Ляпунову.
Устойчивость по первому приближению. Теорема об асимптотической устойчивости и неустойчивости тривиального решения системы или точки покоя. Теорема Гурвица об отрицательности действительных частей корней многочлена.
Метод функции Ляпунова. Исследование движение системы. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости в точке покоя системы. Теорема Четаева о неустойчивости точки покоя системы.
Основные уравнения математической физики: волковой, теплопроводности, Лапласа, Пуассона.