11. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.

Пусть функция f(z) регулярна в области D, за исключением конечного числа точек z_k принадлежит D, к = 1, … ,n непрерывна вплоть до границы , за исключением тех же точек. Граница области D предполагается состояoей из конечного числа кусочно гладких ограниченных контуров. Тогда

где граница обходится в положительном направлении (т. е. при движении по границе в направлении интегрирования область D остается слева).

11. Интегральное преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) действительного переменного (оригинал).

Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оригинала) называется функция:

f(x) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) - изображением преобразования Лапласа. f(x) и F(p) однозначно определяются друг относительно друга, тоесть если Вы знаете f(x), то всегда можете узнать F(p), и наоборот, если знаете F(p), то всегда можете получить f(x).

11. Оригиналы и изображения.

11. Свойства преобразования Лапласа, теоремы линейности, теорема дифференцируемости оригинала.

Тот факт, что F(p) есть изображение f (t), будем символически записывать так:

1. Линейность. Для любых комплексных постоянных a и b

(здесь и далее считать f(t)=F(p), g(t)=G(p)).

2.Теорема подобия. Для любого постоянного a >0

3. Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), fў (t) , fІ (t),…, f (n)(t) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p), то

где под f^(k)(0), (k= 1, 2,…, n-1) понимается .

4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (-t) оригинала

5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если f(t)=F(p), то

6. Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то он служит изображением функции

7.Теорема смещения. Если f(t)=F(p), то для любого комплексного р0

8.Теорема запаздывания. Если f(t)=F(p), то для любого t >0

9.Теорема единственности

Если две функции j(t) и j(t) имеют одно и то же L-изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

11. Теоремы затухания, дифференцирования по параметру, подобия и затухания.

Определение. Пусть функция f (x, ) двух переменных определена для всех значений х в промежутке [a, b] и всех значений во множестве и при каждом постоянном значении из функция f (x, ) интегрируема в промежутке [a, b] в собственном или несобственном смысле. Тогда интеграл

(72)

является функцией переменной или параметра и называется интегралом, зависящим от параметра.

Основные свойства интеграла, зависящего от параметра:

Теорема 1. Если функция f(x, ) определена и непрерывна как функция от двух переменных в прямоугольнике [a, b, c, d], то интеграл (72) будет непрерывной функцией от параметра l в промежутке [c, d].

Дифференцирование по параметру под знаком интеграла.

Теорема 2. Пусть функция f(x, ) и частная производная непрерывны в прямоугольнике . В этом случае существует производная , которая определяется по формуле

(73)

Интегрирование по параметру под знаком интеграла.

Теорема 3. Если функция f(x, ) непрерывна по переменным х и в прямоугольнике , то имеет место следующая формула:

(77)

В формуле (77) пределы интегрирования a и b не зависят от параметра .

36 и 37. Операционный метод решения обыкновенных диф. уравнений и систем.

ẍ+a₁ẋ+a₂=f(t); a₁ и a₂ – постоянная

По Коши:

38. Восстановление оригинала по изображению. Оригинальный метод.

Этот метод состоит в следующем: изображение преобразовывается к удобному виду (чаще всего это изображение преобразовывается на дроби, а затем с использованием св-в преобразования Лапласа и таблиц преобразования Лапласса находят оригинал).

39. Обратное преобразование Лаппласа. Теорема обращения.

f(t)= – теорема обращения.

f(t)<Me^αt p=σ+is

40. Восстановление оригинала с использованием теоремы разложения.

f(t)= , если t≥0

f(t)=0 t<0 a_k-особые точки функции F(p)

41. Системы обыкновенных диф. уравнений. В нормальном виде. Линейная система диф. ур-ний (неоднородная).

Диф. ур-е в нормальном виде:

Линейная сист. диф. ур-й (неоднородная):

Если fi(t)=0 – однородная система.

Если fi(t) 0 – неоднородная система.

42. Линейные однородные диф. ур-я с пост. Коэффициэнтами. Решение этих систем. Характеристическое уравнение.

ẋ=AX+F x= ;A= ;F= ;F=0

Решение системы:

x₁=α₁e^kt ẋ₁=kα₁e^kt

x₂=α₂e^kt ẋ₂=kα₂e^kt

x_n=α_ne^kt ẋ_n=kα_ne^kt

Делим на e^kt и переносим:

Должно выполняться – оперделитель равен 0:

=0 – характерестическое уравнение.

Хар-е ур-е имеет ровно n различных и действительных корней.

X₁= X₂= X_n=

Общее решение однородной системы:

X=

43. Устойчивость решений однородных диф.ур. Устойчивость по Ляпунову.

- неустойчивая.

- устойчивая.

X_k(t) >0 >0 |x_k(0)|< |x_k(t)|< , x_k(t)

Если при этом x_t стремится к 0, при t стремящимся к бесконечности, то точка называется ассимтотически устойчивой.

44. Устойчивость по первому приближению. Теорема об асимптотческой устойчивости и неустойчивости по первому приближению. Теорема Гурвица.

Составим первое приближении. Составим линейную сист. ур-й:

Теория об асимптотич. Устойчивости и неустойчивости по первому приближению:

=0

Если действ. части всех корней характеристического ур-я отриц-ны, то точка покоя сист-мы асимптотически устойчива. Если хотябы 1 из корней характеристического ур-я имеет положительную действит-ю часть, то точка покоя сист-мы не устойчива.

Теорема Гурвица. xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n

- матрица Гурвица.

Для того, чтобы все корни многочлена имели действ. и отрицательные части, необходимо и достаточно, чтобы они были положительными