11. Регулярные и особые точки функции. Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции.

Точка аϾС_z называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце {z:0<|z–a|<r }, а в самой точке а не определена.

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) регулярна в некоторой окрестности {R<|z|<∞} точки z=∞ и функция имеет в точке x =0 изолированную особую точку однозначного характера.

В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.

Изолированная особая точка а функции f (z) называется

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

б) полюсом, если

в) существенно особой точкой, если

не существует.

Типы особых точек z= функции f (z) и x =0 функции j(x) совпадают, ибо

Пусть функция f (z) регулярна в точке а (и, следовательно, в некоторой окрестности этой точки). Число m, m1, называется кратностью (или порядком) нуля функции f (z) в точке а, если выполнены условия

f(a)=f¢(a)=…=f^(m-1)(a)=0,

f^(m)(a)≠0.

При m=1 точка а называется простым нулем функции f (z), при m>1-кратным. Порядком (или кратностью) полюса функции g(z) в точке а называется кратность нуля в точке а регулярной функции

Если а – простой нуль f (z), то точка а называется простым полюсом функции g(z).

11. Вычет функции. Основная теорема о вычетах

Вычетом функции f(z) в изолированной точке z=a называется интеграл

(66)

где C - замкнутый контур, содержащий одну особую точку z=a

Основная теорема о вычетах. Если f(z) - аналитическая на границе области D и внутри области, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, ..., zn, лежащих в D, то

(обход контура положительный).

11. Вычет функции относительно простого полюса и полюса порядка m.

Вычетом функции f(z) в изолированной точке z=a называется интеграл

(66)

где C - замкнутый контур, содержащий одну особую точку z=a

Из определений вычета следует, что если z=a - правильная точка функции f(z), то . Если точка z=a является полюсом, то удобно рассмотреть отдельные случаи:

-полюс первого порядка:

(68)

так как в случае полюса первого порядка функция может быть представлена в виде , причем z=a - ноль первого порядка функции , то

(69)

-полюс порядка m:

(70)

Вычетом функции f(z) в точке z=∞ называется интеграл

(71)

причем во внешней части контура C функция f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от z=0.

11. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.

Пусть функция f(z) регулярна в области D, за исключением конечного числа точек z_k принадлежит D, к = 1, … ,n непрерывна вплоть до границы , за исключением тех же точек. Граница области D предполагается состояoей из конечного числа кусочно гладких ограниченных контуров. Тогда

где граница обходится в положительном направлении (т. е. при движении по границе в направлении интегрирования область D остается слева).