11. Интеграл фкп, его свойства и вычисление.

Пусть ФКП f(z) определена в точках не самопересекающейся дуги (l)=AB, расположенной в z–плоскости. Дуга (l) ориентирована от точки A к точке B, причем точка A соответствует z=z_A, точка B z=z_B.

Рассмотрим произвольное разбиение дуги AB системой точек такое, что z₀=z_A, z_n=z_B и z₁,z2, … ,z_n упорядочены по длине дуги от точки z_a до конечной точки разбиения z_B.

Выберем на дуге AB произвольную систему точек так, чтобы точка ξ лежала на дуге между точками z_k и z_k+1 (см. рисунок). Сумма , где , называется интегральной суммой функции f(z) по дуге (l), соответствующей разбиению τ и выбору точек системы ξ, ее значение зависит от разбиения τ и выбора точек ξ. Обозначим – диаметр разбиения.

Интегралом ФКП f(z) по дуге (l) называется число (вообще говоря, комплексное число), обозначаемое и равное пределу интегральной суммы функции f(z) при , независимое от разбиения τ и выбора точек системы ξ, т.е.

. (1)

Доказано (см. [2]), что для непрерывной на дуге ФКП и кусочно-гладкой дуги интеграл (1) существует. Впредь будем предполагать эти условия выполненными.

СВОЙСТВА интеграла

Cвойства криволинейных интегралов 2 рода (по координатам) переносятся на интеграл ФКП (1).

1) (аддитивность по функции);

,(k-const) (однородность);

– смена знака значения интеграла при изменении ориентации дуги.

2)

3)Если дуга (l) – контур, т.е. z_A=z_B, то интеграл ФКП по контуру (l) обозначается . Если , то интеграл называется несобственным интегралом.

4) Оценка интеграла ФКП проводится по формуле

если f(z) ограничена на (l), т.е. существует число M>0 такое, что на (l); S – длина дуги (l).

5) Если дуга (l) задана параметрически т.е. то вычисление интеграла (1) проводится с помощью вычисления соответствующих криволинейных интегралов (2) сведением к определенному интегралу с использованием уравнений дуги:

. (4)

6) , так как на окружности f имеем и . (5)

Определенный интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

11. Интеграл

12. Теорема Коши

13. Теорема Коши для многосвязной функции.

Если функция w = f(z) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами L₀ (внешняя граница), L₁, L₂, …, L_k, то интеграл от f(z), взятый по полной границе области D, проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда граница области D (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура L₀ и внутренних контуров L₁ и L₂. Соединим контур L₀ разрезом FM с контуром L₁, разрезом BG - с контуром L₂. Область с границей односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши: . Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны.

В дальнейшем нам понадобится другая формулировка этой теоремы. Буквами без верхнего индекса будем обозначать контуры, проходимые против часовой стрелки, с верхним минусом - по часовой. Мы доказали, что . Таким образом, интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам, при этом все контуры обходятся в одном направлении.