8. Функция комплексного переменного.

Функция комплексной переменной – это правило, которому каждому комплексному значению независимой переменной z (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции w.

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Функцию комплексной переменной можно записать в виде: , где – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции w.

Функция называется мнимой частью функции w.

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций.

9. Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Предположим, что существует последовательность комплексных чисел

О: Число можно назвать пределом z_n при беспредельном возрастании при условии, что для всякого имеется номерN(ε), что дляn>=Nвыполняется неравенство .

Т: С целью, чтобы необходимо и достаточно осуществление

О: Под числом a понимается предел f(x) при , если для всякого ε>0 имеется , что из неравенства следует неравенство .

Т: Необходимые и достаточные условия для существования:

при том, что

О: Непрерывной функцию w=f(z) в т.z₀ можно назвать при условии, что: f(z) определена в т. z₀ и ее окрестности; В соответствии с выше обозначеной теоремой можно заключить, что последнее равенство является эквивалентным двум равенствам z₀ равна непрерывности ее действительной и мнимой частей z₀.

10. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции. Условие Коши-Римана

Производная функции

Функция f(z) определенная в некоторой окрестности точки называется дифференцируемой в этой точке, если существует конечный предел

называемый производной функции f(z) в точке z₀.

Справедливы следующие свойства:

Пусть функции f(z) п g(z) дифференцируемы, а С произвольная постоянная, тогда

Аналитическая функция — функция комплексного переменного , для которой в каждой точке некоторой области , называемой областью аналитичность, выполняется одно из трёх равносильных условий:

1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);

2. Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится и его сумма равна (аналитичность в смысле Вейерштрасса);

3. Интеграл для любой замкнутой кривой (аналитичность в смысле Коши)

Условие Коши Римана

Пусть и функция определена в некоторой

окрестности точки . Функция дифференцируема в точке z₀ тогда и только тогда, когда

1. дифференцируемы как функции двух переменных в точке (х_о,у_о);

2. выполняются условия Коши-Римана

11. Геометрический смысл ФКП. Геометрический смысл производной.

Равенство означает, что Δw=f′(z)Δz + γ(Δz)·Δz, где γ(Δz) → 0 при Δz→0. Отсюда, в частности, следует, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Будем писать Δw ≈ f ′(z)·Δz, пренебрегая слагаемым высшего порядка малости. Пусть в точке z существует f^'(z) ≠ 0. Возьмём точки z и z + Δz; пусть w=f(z), тогда Δw≈|f^′(z)|·e ^{i arg f ′ (z)}·Δz = |f^′(z)|·|Δz|·e ^{i (arg f ′ (z) + arg Δz)}. Таким образом, |Δw| в |f ^′(z)| больше |Δz|, arg Δw больше argΔz на argf ^′(z)для любого arg Δz (с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Следовательно, в окрестности любой точки z, в которой f ^′(z) ≠ 0 отображение z→w=f(z) действует следующим образом: любой вектор растягивается в |f(z)| раз и поворачивается на угол arg f ^′(z).