1. Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы.

Комплексным числом z называется число вида z=a+ib, где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Число a называется действительной частью (Re z) комплексного числа , число b называется мнимой частью (Im z) комплексного числа z.

Любое комплексное число (кроме нуля) z=a+ib можно записать в тригонометрической форме: z=|z|(cosϕ+i sin ϕ), где |z| – это модуль комплексного числа, а ϕ – аргумент комплексного числа.

2. Арифметические действия с Арифметические действия с комплексными числами в алгебраической форме.

и т.д.

Свойство сложени: Сумма двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 

Свойство вычитания: Разность двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1−z2=(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i 

Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1*z2=(a+bi)*(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i 

Свойство деления: Частное двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число видаz=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi

3. Арифметические действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пустьz₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) и z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂). Имеем: 

Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ₁, φ₂, ..., φ_n – аргументы чиселz₁, z₂, ..., z_n, то 

4. Возведение комплексного числа в степень формула Муавра

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

формула Муавра:

5. Извлечение корня n степени из комплексного числа

6. Показательная форма КЧ. Формула Эйлера. Степень числа е с комплексным показателем.

показательная форма КЧ

формула Эйлера

и связаны формулой Эйлера:  .

Тогда от тригонометрической формы комплексного числа можно перейти к показательной форме: .

Тогда    Складывая и вычитая, легко получить

7. Предел последовательности комплексных чисел. Свойства сходящихся последовательностей.

Последовательность {z_n} комплексных чисел можно рассматривать как отображение в С множества натуральных чисел N (иными словами — как функцию целого положительного аргумента n, принимающую комплексные значения z_n=f(n), n € N). Как и в случае последовательности {x_n} действительных чисел x_n € R, последовательность {z_n} будет задана, если известно правило f, которое позволяет найти любой ее элемент z_n € С по его номеру n. Это правило чаще всего задают при помощи формулы, устанавливающей зависимость значения n-го элемента последовательности от его номера (например, z_n =iⁿ, z_n = i/n² и т.п.).

Комплексное число а называют пределом последовательности {z_n} комплексных чисел и записывают или , если для любого ε > 0 можно найти натуральное число N, такое, что при n> N все элементы последовательности попадают в ε-окрестность точки а, или кратко

Геометрический смысл предела последовательности комплексных чисел заключается в том, что точки z_n, начиная с некоторого номера, лежат в круге радиуса ε с центром в точке а комплексной плоскости (z). Следовательно, точка а € С является пределом последовательности {z_n}, если круг любого радиуса ε с центром в точке а содержит все элементы этой последовательности за исключением их конечного числа.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Следствие 1. Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Так, например, посл. 0,1,0,1,...,0,1, ... является ограниченной, но не является сходящейся.

Теорема 3. Сумма сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {x_n} и {y_n}.

Теорема 4. Разность сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {xn} и {yn}

Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {xn} и {yn}.

Лемма 1. Если последовательность {yn} сходится к отличному от нуля пределу b, то, начиная с некоторого номера, определено частное {1yn} последовательностей {\{}1{\}} и {yn}, которое представляет собой ограниченную последовательность.

Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.