5. Интегральный признак Коши-Маклорена

Пусть определена на . Предположим, что для существует . Несобственным интегралом І рода называется:

.

Пример . Вычислить интеграл .

.

Пусть у нас есть ряд

, (60)

где - это значение некоторой функции , когда , эта функция определена для (начальным значением номера , вместо 1, может быть и любое другое натуральное число , тогда и функцию будем рассматривать, когда ).

Пусть

1. непрерывная,

2. положительная,

3. монотонно убывающая.

Рассмотрим любую первообразную функцию для :

- монотонно возрастает,

а может быть конечным, а может равняться .

Рассмотрим

(70)

Усеченная сумма для ряда имеет вид:

.

Таким образом, ряд будет сходящимся (расходящимся), если будет существовать , или иначе, если будет существовать конечный (если ).

С рядом (70) мы сравним исходный ряд (60). По теореме Лагранжа

, где

.

Поскольку по условию функция монотонно убывает, то

Из части (80) последней формулы вытекает, что если ряд (70) сходится, то сходится (по первому признаку сравнения в форме неравенств) и ряд , а потому и ряд . Если ряд (70) расходится, то из (90) (по первому признаку сравнения в форме неравенств) вытекает расходимость исходного ряда (60).

Теорема 9 (интегральный признак). При предположениях 1-3 относительно свойств функции ряд (60) сходится или расходится в зависимости от того, существует или не существует несобственный интеграл (т.е. существует или не существует , где - первообразная функция для ).

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд , где - параметр. Если , исходный ряд является расходящимся, поскольку не выполняется необходимое условие сходимости. Пусть теперь . Для элементов ряда рассмотрим соответствующую функцию, которая их порождает: . При на множестве эта функция является непрерывной, положительной, монотонно убывающей, т.е. для функции выполняются условия 1-3. Первообразная для нее

.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд , ( - параметр). Функция , которая порождает элементы ряда, удовлетворяет условиям 1-3. Первообразная для нее:

.

,

поэтому исходный ряд сходится при .

Питання

1. Какой ряд называется рядом с положительными членами?

2. Критерий сходимости рядов с положительными членами.

3. Первый признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств.

4. Первый признак сравнения в предельной форме.

5. Второй признак сходимости рядов с положительными членами.

6. Признака Коши и Даламбера сходимости рядов с положительными членами в форме неравенств и в предельной форме.

7. Определение несобственного интеграла І рода.

8. Интегральный признак Коши-Маклорена сходимости рядов с положительными членами.