Решение двойственной задачи с помощью обратной матрицы

Если исходная задача решена симплексным методом, то решение двойственной задачи может быть найдено по формуле , где – матрица-строка коэффициентов при базисных переменных целевой функции в оптимальном решении исходной задачи; – обратная матрица для матрицы , являющейся матрицей коэффициентов базисных переменных системы ограничений исходной задачи в оптимальном решении.

Нахождение обратной матрицы

Пусть дана квадратная матрица n-го порядка

.

Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, в противном случае матрица называется невырожденной.

Матрица , для которой выполняется условие , называется обратной к матрице А.

Теорема. Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной . При этом элементы обратной матрицы можно найти по формуле

,

где – алгебраические дополнения для элемента матрицы .

Алгебраические дополнения находятся по формуле где – определитель, полученный из определителя матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Задача. Выяснить, существует ли обратная матрица для матрицы

и, если существует, найти ее.

Решение. ,

следовательно, матрица A – невырожденная, поэтому для нее существует обратная матрица . Найдем алгебраические дополнения матрицы A:

Таким образом, .

Проверим выполнение условия . Действительно,

Задача. Найти решение двойственной задачи о красках, используя обратную матрицу для матрицы коэффициентов базисных переменных системы ограничений исходной задачи в оптимальном решении.

Решение. Базисными переменными в оптимальном решении являются . Матрица коэффициентов при этих переменных в системе ограничений исходной задачи имеет вид:

, ,

.

Таким образом, решение двойственной задачи :

Третья теорема двойственности

Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны значениям частных производных линейной функции F_max= (b₁,b₂, …, b_m) по соответствующим аргументам

Объективно обусловленные оценки ресурсов показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная прибыль от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.

Объективно обусловленные оценки ресурсов позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно небольших изменений ресурсов. При резких изменениях сами оценки могут быть другими, что приведёт к невозможности их использования для анализа производства.

Задача. По соотношению объективно обусловленных оценок определить расчётные нормы заменяемости ресурсов.

Решение. По условию предыдущих задач для того, чтобы определить нормы заменяемости ресурсов S₁, S₂ , составим отношение 

.

Т.е. для максимизации общей прибыли каждая дополнительная единица ресурса S₁ эквивалентна дополнительным 4 единицам ресурса S₂ .

Этот вывод верен в пределах устойчивости двойственных оценок, когда изменения запасов ресурсов удовлетворяют системе ограничений.

Значения переменных в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов системы ограничений исходной задачи на оптимальное значение ее целевой функции.

Так как величина представляет собой частную производную по i‑му ресурсу, то она характеризует скорость изменения оптимального дохода при изменении i-го ресурса.

Если мало, то значительному увеличению i-го ресурса будет соответствовать небольшое увеличение оптимального дохода, и ценность ресурса невелика.

Если = 0, то при увеличении i-го ресурса оптимальный доход остается неизменным и ценность этого ресурса равна нулю. В самом деле, сырье, запасы которого превышают потребности в нем, не представляет ценности для производства и его оценку можно принять за ноль.

Если велико, то незначительному увеличению i-гo ресурса будет соответствовать существенное увеличение оптимального дохода, и ценность ресурса высока. Уменьшение ресурса ведет к существенному сокращению выпуска продукции.

При увеличении i-го ресурса на единицу оптимальный доход возрастает на , что позволяет рассматривать как оценку единицы i-го ресурса, объективно обусловленную оценку.