Симплексный метод

Стратегия решения задачи с помощью симплексного метода (или иначе «симплекс-метода») – это направленный перебор допустимых базисных решений, определяющих крайние точки многогранника решений.

Базисным решением системы линейных уравнений с переменными называется решение, в котором все неосновных переменных равны нулю.

Переменные называют базисными, а переменные называют небазисными или свободными.

Для реализации метода необходимо:

• определить какое-либо первоначальное допустимое базисное решение задачи;

• указать правило перехода к лучшему (не худшему) решению;

• указать критерий проверки оптимальности найденного решения.

Необходимо отметить, что для решения симплекс-методом задачи линейного программирования её необходимо привести к каноническому виду.

Рассмотрим задачу линейного программирования в канонической форме.

Будем полагать, что все , где (иначе умножим соответствующее уравнение системы на –1).

Уравнения системы линейно независимы, и система совместна. При сделанных предположениях можно выбрать неизвестных , таких, чтобы определитель, составленный из коэффициентов этих неизвестных, не был равен нулю. Задача может быть приведена к специальному виду:

Одно из допустимых решений задачи можно найти, если переменные приравнять к нулю, тогда это допустимое базисное решение имеет вид: .

Этому решению соответствует значение целевой функции .

Алгоритм симплекс-метода

Базис	Свободные члены	Переменные
x	b	xm+1	…	xq	…	xn
x1	b1	a1 m+1	…	a1 q	…	a1 n
x2	b2	a2 m+1	…	a2 q	…	a2 n
…	…	…	…	…	…	…
xp	bp	ap m+1	…	ap q	…	ap n
…	…	…	…	…	…	…
xm	bm	am m+1	…	am q	…	am n
F	с0	сm+1	…	сq	…	сn

Этой таблице соответствует допустимое базисное решение .

Этому решению соответствует значение целевой функции .

1. Проверка на оптимальность. Если среди элементов симплексной таблицы нет ни одного положительного элемента, то оптимальное решение задачи линейного программирования найдено .

Оптимальное значение целевой функции .

2. Проверка на неразрешимость. Если среди есть положительный элемент , а в соответствующем столбце нет ни одного положительного элемента ( ), то в этом случае оптимального решения не существует.

3. Выбор ведущего столбца . Среди элементов выбираем максимальный положительный элемент. Итак, среди всех элементов . Этот столбец объявляют ведущим (разрешающим) столбцом.

4. Выбор ведущей строки . Среди положительных элементов столбца находим элемент , для которого выполняется условие . Строку p называют ведущей (разрешающей).

5. Преобразование симплексной таблицы. Составляем новую симплексную таблицу, в которой:

• вместо базисной переменной записываем , вместо небазисной переменой записываем ;

• ведущий элемент заменяем на обратную величину ;

• все элементы ведущего столбца (кроме ) умножаем на ( – );

• все элементы ведущей строки (кроме ) умножаем на ;

• оставшиеся элементы симплексной таблицы преобразуем по правилу прямоугольника.

Переход к следующей итерации осуществляется возвращением к пункту 1.

Задача. Фабрика производит два вида красок. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы ингредиента А составляют 6 тонн, а ингредиента В – 8 тонн. Известен расход ингредиентов на 1 тонну соответствующих красок:

Ингредиент	Расход ингредиентов, ингр./т краски
	краска I вида	краска II вида
А	1	2
В	2	1

Суточный спрос на краску II вида не превышает спроса на краску I вида более чем на 1 тонну. Кроме того, спрос на краску II вида никогда не превышает 2 тонн в сутки. Цена реализации одной тонны краски I вида – 3 ден. ед., краски II вида – 2 ден. ед. Определить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Решение. Переменные задачи:

 – суточный объем производства краски I вида;

 – суточный объем производства краски II вида.

Критерием оптимальности служит параметр суточного дохода, который должен стремиться к максимуму .

Математическая модель этой задачи имеет вид

Найдем решение задачи симплексным методом. Приведём задачу к каноническому виду, а затем к специальному виду:

Составим симплексную таблицу:

	В	x1	x2
х3 х4 х5 х6	6 8 1 2	1 2 2 –1 0	2 1 1 1
F	0	3	2

Определим ведущий элемент: min .

Составим новую симплексную таблицу:

	B	х4	x2
х3 х1 х5 х6	2 4 5 2	–1/2 1/2 1/2 0	1/2 3/2 1
F	12	–3/2	1/2

Определим ведущий элемент: min

Составим новую симплексную таблицу:

	B	х4	х3
х2 х1 х5 х6	4/3 10/3 13/3 2/3	–1/3 –1/6 1 1/6	2/3 –1/3 –1 –2/3
F	38/3	–8/6	–1/3

Ответ. Чтобы получить оптимальный доход равный ден. ед. в сутки, нужно ежесуточно производить краску I вида в объеме тонны и краску II вида в объеме  тонны.