Линейное программирование
Линейное программирование – раздел математического программирования, посвященный теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и уравнений.
Математическое программирование, в которое входит линейное программирование, является одним из направлений исследования операций. В зависимости от вида решаемых задач в нем выделяют такие области программирования, как линейное, нелинейное, дискретное, динамическое, геометрическое, параметрическое и др. Термин «программирование» введен в связи с тем, что неизвестные переменные, которые находятся в процессе решения задачи, обычно определяют программу или план работы некоторого экономического объекта.
Задачи линейного программирования являются математическими моделями многочисленных задач технико-экономического содержания.
По оценкам специалистов примерно 80–85 % всех решаемых на практике задач оптимизации относятся к задачам линейного программирования.
В
общем виде математическая модель задачи
линейного программирования записывается
так: дана система
уравнений и (или) неравенств с
переменными
,
и линейная (целевая) функция
,
где
– неизвестные;
– заданные постоянные величины.
Необходимо найти такое решение
системы, при котором функция
принимает
оптимальное значение или более кратко
(или
).
Решение называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования, если оно удовлетворяет условиям приведенной выше системы ограничений.
Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется допустимое решение , при котором линейная функция принимает оптимальное (т.е. минимальное или максимальное) значение.
Для составления математической модели необходимо:
обозначить переменные;
составить целевую функцию исходя из цели задачи;
записать систему ограничений, учитывая имеющиеся в условии задачи показатели и их значения.
При условии, что все переменные неотрицательны, а система ограничений состоит из одних уравнений, задача линейного программирования называется канонической (основной); а если система ограничений состоит лишь из одних неравенств, задача называется стандартной (симметричной). Переход от общей задачи к канонической осуществляется добавлением в каждое ограничение, содержащее неравенство, по одной дополнительной (балансовой) переменной.
Если
неравенство содержит знак «
»,
то новая переменная добавляется со
знаком «+», если неравенство содержит
знак «
»,
то переменная добавляется со знаком
«–».
Теоретические основы методов линейного программирования
Точка
Х
называется выпуклой
линейной комбинацией
точек
,
,…,
,
если
выполняются условия
,
,
.
Множество точек является
выпуклым, если
оно вместе с любыми своими двумя точками
содержит их произвольную выпуклую
линейную комбинацию. В частности, на
плоскости множество точек является
выпуклым, если оно вместе с любыми двумя
своими точками содержит весь отрезок,
соединяющий эти точки.
Выпуклое замкнутое множество точек пространства (плоскости), имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником (многоугольником), если оно ограниченное, и выпуклой многогранной (многоугольной) областью, если оно неограниченное.
Теорема. Выпуклый n-мерный многогранник является выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек.
Теорема. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования (многогранник решений) является выпуклым.
Ответ на вопрос, в какой точке многогранника решений возможно оптимальное решение задачи линейного программирования, даёт следующая теорема.
Теорема. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то линейная функция принимает оптимальное значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если линейная функция принимает оптимальное значение более чем в одной угловой точке, то она принимает его в произвольной точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.
Теорема является фундаментальной, т.к. указывает принципиальный путь решения задачи линейного программирования.