Основное уравнение запасов

Пусть функции , , выражают соответственно пополнение запасов, их расход и спрос на запасаемый продукт за промежуток времени . В моделях управления запасами обычно используют производные этих функций по времени , , , называемые, соответственно, интенсивностями пополнения, расхода и спроса.

Уровень запаса в момент времени определяется основным уравнением запасов

,

где – начальный запас в момент .

Это уравнение чаще используют в интегральной форме:

.

Задача. Интенсивность поступления деталей на склад готовой продукции цеха в течение первого часа возрастает по закону , а затем до конца смены остаётся постоянной. Полагая, что поступление деталей на склад происходит непрерывно в течение всех 8 часов в смену, а вывоз деталей со склада производится только в конце работы, записать выражение для уровня запасов в произвольный момент времени. Найти количество деталей на складе:

а) через 30 минут после начала работы;

б) в конце смены.

Решение. Так как в течение смены не происходит выдачи деталей со склада, то . Интенсивность пополнения запаса в течение первого часа линейно возрастает, т.е. .

В конце первого часа, т.е. при , а затем до конца смены остаётся постоянным .

Учитывая продолжительность смены (8ч = 480 мин), получаем:

а) 0 t 60:

,

б) 60 t 480:

.

Количество деталей на складе через 30 мин. после начала работы: , а в конце смены .

Статистическая детерминированная модель без дефицита

Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. .

Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени равно . Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит с постоянной интенсивностью: .

П ополнение заказа происходит партиями одинакового объёма, т.е. функция не является непрерывной: при всех , кроме моментов поставки продукта, когда , где – объём партии. Так как интенсивность расхода равна , то вся партия будет использована за время .

Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии , т.е. . На временном интервале уровень запаса уменьшается по прямой от значения до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения за счет поступления партии заказа.

И так процесс изменения повторяется на каждом временном интервале продолжительностью . Задача управления запасами состоит в определении такого объёма партии , при котором суммарные затраты на создание и хранения запаса были бы минимальными.

Найдем минимум функции затрат при помощи классических методов оптимизации. Обозначим суммарные затраты через , затраты на создание запаса через , затраты на хранение запаса – . Найдём эти величины за весь промежуток времени .

Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объёма партии, равны , а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени – .

Так как за время нужно запастись единицами продукта, который доставляется партиями объёмом , то число таких партий равно:

.

Отсюда получим: .

Мгновенные затраты хранения запаса в момент времени равны . Значит, за промежуток времени затраты хранения запаса составят:

_.

Средний запас за промежуток равен , т.е. затраты на хранение всего запаса при линейном (по времени) его расходе равны затратам на хранение среднего запаса.

Учитывая периодичность функции , получаем, что затраты хранения запаса за промежуток времени равны:

.

Ф ункция суммарных затрат будет равна:

.

В точке минимума функции ее производная

,

откуда

.

Формула называется формулой Уилсона или формулой наиболее экономичного объема партии.

Минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты составят:

.

Число оптимальных партий за время с учетом равно:

.

Время расхода оптимальной партии равно:

.

Задача. Потребность сборочного предприятия в деталях составляет 150000 деталей в год, причём они расходуются в процессе производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового объёма. Хранение детали на складе стоит 0,5 денежных единиц в сутки, а поставка партии – 12000 ден. ед. Задержка производства из-за отсутствия деталей недопустима.

Определить наиболее экономичный объём партии и интервал между поставками, который нужно указать в заказе.

Решение. Затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объёма партии, ден. ед., а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени ден. ед. Общий промежуток времени дней, а общий объем запаса . По формуле Уилсона

деталей,

дней

На практике может оказаться удобным заказывать партии по 4500 или по 5000 деталей. Как при этом изменятся суммарные затраты?

При помощи разложения функции С(n) в ряд Тейлора в окрестности точки можно найти формулу, показывающую устойчивость суммарных затрат по отношению к наиболее экономичному объёму партии:

.

Задача. Определить, на сколько процентов увеличиваются затраты на создание и хранение запаса по сравнению с минимальными затратами, при объеме заказа, равном 5000 деталей.

Решение. Относительное изменение объёма партии по сравнению с оптимальным = 4442 составляет .

Относительное изменение суммарных затрат составит , или 0,8 %.