Условный экстремум

Необходимо найти экстремум функции при условии, что переменные удовлетворяют уравнениям связи

.

Предполагается, что функции и имеют непрерывные частные производные по всем переменным.

Функция имеет в точке , удовлетворяющей уравнениям связи, условный максимум (минимум), если выполняется неравенство ( ) для всех точек , удовлетворяющих уравнениям связи.

Один из способов определения условного экстремума применяется, если переменных из уравнений связи можно явно выразить через оставшиеся переменных и задача сводится к нахождению локального экстремума.

Метод множителей Лагранжа

Другой способ определения условного экстремума состоит в построении функции Лагранжа

,

где – неизвестные постоянные (множители Лагранжа), и нахождении экстремума функции .

Определение стационарных точек функции приводит к решению системы уравнений

Теорема. Если точка является точкой условного экстремума функции при условии , то существуют значения , такие, что точка ( ) является точкой экстремума функции .

Множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если – доход, соответствующий плану , а функции – издержки -го ресурса, соответствующие этому плану, то – цена (оценка) -го ресурса, характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости от изменения размера -го ресурса.

Задача. Фирма реализует автомобили двумя способами: через розничную и оптовую торговлю. При реализации автомобилей в розницу расходы на реализацию составляют ден. ед., а при продаже автомобилей оптом – ден. ед.

Найти оптимальный способ реализации автомобилей, минимизирующий суммарные расходы, если общее число предназначенных для продажи автомобилей составляет 400 шт.

Решение 1. Составим функцию и будем находить её минимум. Т.к. для продажи предназначено 400 автомобилей, то . Разрешим данное уравнение относительно переменной х₂: . Подставим полученное выражение в функцию L, получим . .

Известными методами математического анализа найдём экстремум функции одной переменной. Приравнивая нулю её производную , получим . Учитывая то, что в этой точке производная меняет знак с «–» на «+», делаем вывод о том, что эта точка является точкой минимума. После этого находим .

Решение 2. Составим функцию Лагранжа:

.

Приравнивая к нулю её частные производные, имеем:

Решив систему, получим .

В точке (199; 201) функция L имеет условный минимум.

Ответ. Оптимальный способ реализации автомобилей – это 199 автомобилей в розницу и 201 автомобиль оптом. Расходы составят 80798 ден. ед.

В экономических задачах, в которых отыскивается оптимум функции, где число переменных больше двух, полагают, что найденное единственное решение, удовлетворяющее необходимому условию экстремума, является оптимальным.

Эластичность в моделировании экономических процессов

Эластичностью функции называется предел отношения относительных изменений переменных и .

Если эластичность изменения переменной при изменении переменной обозначить , то, используя определение производной, получим

,

где – маржинальное, т.е. предельное значение функции в точке ,

– среднее значение функции в точке .

Эту эластичность называют также предельной или точечной эластичностью. Т.е. эластичность может быть выражена в виде отношения предельной ( ) и средней ( ) величин.

Так как , а , то эластичность можно представить в форме «логарифмической производной» .