Экстремум функции двух переменных (локальный)

Понятия максимума и минимума функции двух переменных вводятся подобно тому, как это было сделано для функции одной переменной. Говорят, что функция имеет максимум (минимум) в точке , если всюду в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство .

Для максимума и минимума функции употребляется общий термин – экстремум. Введенные понятия максимума и минимума носят локальный характер, так как в определениях фигурируют лишь точки , достаточно близкие к точке . Разумеется, функция может иметь несколько максимумов и минимумов.

Сформулируем необходимые условия существования экстремума функции.

Теорема (Необходимый признак существования экстремума).

Если функция двух переменных имеет экстремум в точке , то каждая ее частная производная первого порядка в этой точке, либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют, называются критическими (стационарными). Таким образом, точки экстремума функции нужно искать среди ее критических точек.

Если функция дифференцируема в некоторой области, то ее критические точки следует искать среди решений системы уравнений

Следует заметить, что сформулированные выше условия экстремума не являются достаточными.

Теорема (Достаточное условие экстремума функции двух переменных.) Предположим, что функция имеет в окрестности критической (стационарной) точки непрерывные частные производные второго порядка.

Обозначим , , .

Вычислим определитель:

.

Если он больше нуля, то функция имеет в точке экстремум. При этом точка будет точкой максимума, если значения производных в этой точке и – отрицательные; точка будет точкой минимума, если и – положительные.

Если определитель меньше нуля, то функция в точке экстремума не имеет. И, наконец, при равенстве нулю определителя необходимы дальнейшие исследования.

Как правило, в практических задачах необходимо определить наибольшее и наименьшее значение функции в некоторой области.

Глобальный экстремум (нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в ограниченной замкнутой области)

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области и дифференцируема внутри этой области, то она имеет в этой области наименьшее и наибольшее значения. Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области , следует найти значения функции в критических точках этой области, а также ее наименьшее и наибольшее значения на границе области . Наибольшее и наименьшее из всех этих значений являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции в заданной области .

Задача. Предприятию для приобретения нового оборудования двух видов выделено 30 тыс. ден. ед. Известно, если использовать для производства продукции единиц нового оборудования первого вида, то предприятие получит прибыль ден. ед. и при этом затраты будут равны ден. ед. Если же использовать единиц оборудования второго вида, то прибыль равна ден. ед., а затраты – . Определить, сколько оборудования и какого вида следует приобрести предприятию, чтобы прибыль от производства продукции была максимальной, если единица оборудования первого вида стоит 2 тыс. ден. ед., а второго – 4 тыс. ден. ед.

Решение. Если предприятие приобретет единиц оборудования первого вида и – второго вида, то прибыль, которую оно получит от производства продукции, будет равна , при стоимости этого оборудования равной , т. е. должно выполняться требование .

П

7,5

олучаем следующую математическую задачу: найти наибольшее значение функции в области :

О

1

бласть имеет вид треугольника AOB.

Найдем критические точки внутри области :

Получаем точку . Перейдем теперь к исследованию функции на границе области.

1. На отрезке имеем , следовательно, на этом отрезке функция представляет собой функцию одной переменной ; наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка. Имеем , соответствующая точка на отрезке . Итак, из всех значений функции на отрезке наибольшее значение находится среди ее значений в точках , , .

2. На отрезке имеем , тогда . Таким образом, из всех значений функции на отрезке наибольшее находится среди значений в точках , .

3. На отрезке : , ,

, , , следовательно, , , .

Отсюда вытекает, что наибольшее значение функции в данной области находится среди ее значений в точках , т. е. среди значений

;

;

;

;

;

;

.

Наибольшее из них равно 195, т.е. .

Ответ. Для получения максимальной прибыли от производства продукции, равной 195 тыс. ден. ед., предприятию следует приобрести только оборудование первого вида в количестве 15 единиц.