Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

В.Д. Полежаев, Л.Н. Полежаева, Е.Н. Казанцева

Методы и модели в экономике

Конспект лекций

Омск

Издательство ОмГТУ

2008

УДК 519.86: 330.43

ББК 65в6я73

П49

Рецензенты:

А.И. Ковалёв, д-р экон. наук, ОмГУ,

Н.А. Морозова, канд. экон. наук, ОмГПУ

Полежаев, В.Д.

П 49 Методы и модели в экономике: Конспект лекций /

В.Д. Полежаев, Л.Н. Полежаева, Е.Н. Казанцева. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2008. – 64 с.

Рассматриваются вопросы применения математического моделирования для решения конкретных экономических задач с помощью построения и анализа моделей, что позволяет придать понятный математический смысл общим закономерностям, устанавливаемым экономической теорией при описании социально-экономических систем и процессов.

Изучение математических методов и инструментария экономических исследований позволит будущему специалисту сформулировать необходимые компоненты мышления, уровень, кругозор и культуру, которые понадобятся ему как в теоретическом плане, так и в плане ориентации в его профессиональной и практической деятельности.

Конспект лекций предназначен для студентов дневной, вечерней и очно-заочной форм обучения факультета экономики и управления ОмГТУ, а также для всех, кто интересуется применением математических методов в экономике. Может быть использовано для самоподготовки с применением дистанционных технологий.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Омского государственного технического университета

УДК 519.86: 330.43

ББК 65в6я73

© Авторы, 2008

© Омский государственный

технический университет, 2008

Введение

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками и поэтому вобрала в себя большое число математических методов.

В условиях глобализации мировой экономики и становления информационного общества математические методы и модели становятся мощным инструментом прогнозов эволюции цивилизации, что позволяет определять оптимальные магистрали развития экономики в плане обеспечения жизнедеятельности человека.

Использование математических методов и моделей актуально как на уровне деятельности фирмы в условиях рынка, так и в макроэкономике – на уровне планирования и анализа аспектов экономической деятельности региона и страны.

Изучение математических методов и инструментария экономических исследований позволит будущему специалисту сформулировать необходимые компоненты мышления, уровень, кругозор и культуру, которые понадобятся ему как в теоретическом плане, так и в плане ориентации в его профессиональной и практической деятельности.

Математическая модель – приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Математическая модель – метод не только познания внешнего мира, но также прогнозирования и управления.

Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными до построения модели). В экономической литературе их называют экзогенными переменными. Значения же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними и называются эндогенными переменными.

Процесс математического моделирования, т. е. изучения явления с помощью математической модели, можно подразделить на четыре этапа.

Первый этап – формулирование и запись в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

Второй этап – исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Основным здесь является решение прямой задачи, т. е. получение в результате анализа модели выходных данных для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. Часто математические задачи, возникающие на основе различных явлений, бывают одинаковыми (например, основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы). Это дает основание рассматривать такие задачи, как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

Третий этап – выяснение того, удовлетворяет ли принятая (гипотетическая) модель критерию практики, т. е. согласуются ли результаты наблюдений с результатами вычислений в пределах точности наблюдений. Если все параметры модели были заданы, то определение отклонений результатов вычислений от наблюдений дает решение прямой задачи с последующей оценкой отклонений. Если отклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые ее характеристики остаются неопределенными. Задачи, в которых характеристики модели (параметрические, функциональные) определяются таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если математическая модель такова, что ни при каком выборе характеристик заданные условия не удовлетворяются, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе гипотетической модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Четвертый этап – последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития экономики данные об изучаемых явлениях все более и более уточняются, и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании принятой модели, не соответствуют нашим знаниям о явлении. Таким образом, возникает необходимость построения новой, более совершенной математической модели.

Моделирование – циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Перейдем к процессу описания экономико-математического моделирования. Эта разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппаратом и средствами моделирования, поэтому целесообразно более детально проанализировать последовательность и содержание экономико-математического моделирования, выделив следующие шесть этапов.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели. Это этап формализации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). Сначала определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма связей. Для некоторых сложных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных моделей; при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитываются приближенно. Оправдано стремление построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что может потребовать некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре.

3. Математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, какие переменные могут в него входить, в каких пределах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д. Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию; в таких случаях переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. В экономических задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап моделирования, так как дело не сводится к пассивному сбору данных. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиальную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят многовариантный характер. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для многих моделей является единственно возможным.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе решается вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Проводится проверка адекватности модели по тем свойствам, которые были выбраны в качестве существенных. Применение численных результатов моделирования в экономике направлено на решение практических задач (анализ экономических объектов, экономическое прогнозирование развития хозяйственных и социальных процессов, выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии). Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности, могут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели; в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на этапе подготовки исходной информации. Если необходимая информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы приспособиться к доступной исследователю информации.

Выше уже сказано о циклическом характере процесса моделирования. Недостатки, которые не удается исправить на тех или иных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Однако результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более сложной и более совершенной модели, включающей в себя новые условия и более точные математические зависимости.