Площадь поверхности многогранника

Эти задачи постоянно дают на пробных экзаменах. Это значит, что в настоящем ЕГЭ по математике они тоже будут.

Чтобы найти площадь многогранника после растягивания или сжатия, используйте следующую теорему:

Теорема

Когда все стороны многогранника увеличить в n раз, его площадь увеличится в n² раз:

S_новая = S_старая · n²

Аналогично, если все стороны сжать в n раз, площадь уменьшится в n² раз.

Как видите, формула площадей очень похожа на частный случай формулы объемов. Разница лишь в степени:

1. V_новый = V_старый · n³, поскольку объем — это «трехмерная» величина. Например, объем измеряется в кубических метрах (м³);

2. S_новая = S_старая · n², поскольку площадь — величина «двумерная» и измеряется в квадратных метрах (м²).

Те, кто не знает эти правила, каждый раз вспоминают формулы объема и площади. Вот только у каждого многогранника эти формулы свои, и в них легко запутаться. Короче, фу. Лучше работайте по приведенной выше теореме.

Задача [Пробный ЕГЭ 2012]

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильной пирамиды, если все ее стороны увеличить в 7 раз?

Решение

Подставляем n = 7 в формулу площади:

S_новая = S_старая · 7² ⇒ S_новая = 49 · S_старая

Итак, площадь увеличится в 49 раз — это и есть ответ.

Ответ

49

Задача [Материалы индивидуальных занятий]

Площадь первой сферы равна 175. Найдите площадь второй сферы, если ее радиус в 5 раз меньше радиуса первой.

Решение

Работаем по той же формуле: n = 5. Но вместо умножения будет деление, поскольку радиус уменьшается. Имеем:

S_новая = S_старая : n² = 175 : 5² = 175 : 25 = 7

Ответ

7

Задача [Групповая консультация по ЕГЭ]

В пространстве даны два прямых круговых конуса. У второго конуса радиус основания и высота в 3 раза больше, чем у первого. Найдите площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 324 см².

Решение

Чтобы решить задачу, надо понять, как из первого конуса получается второй. По условию, нам известны следующие величины:

1. n = 3 — именно во столько раз растягивается первый конус по каждой оси;

2. S_новая = 324 — площадь второго конуса.

Подставляем эти числа в нашу формулу — получаем:

S_новая = S_старая · n² 324 = S_старая · 9 S_старая = 324 : 9 = 36

Умножение на n² (а не деление) мы берем потому, что второй конус больше первого. Полученная площадь — это и есть ответ.

Ответ 36

Как решать задачи b14 без производных

29 января 2012

Иногда в задачах B14 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность.

Определение

Функция f (x) называется монотонно возрастающей на отрезке [a; b], если для любых точек x₁ и x₂ этого отрезка выполняется следующее:

x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) < f (x₂).

Функция f (x) называется монотонно убывающей на отрезке [a; b], если для любых точек x₁ и x₂ этого отрезка выполняется следующее:

x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) > f (x₂).

Другими словами, для возрастающей функции чем больше x, тем больше f (x). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x, тем меньше f (x).

Примеры

Логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 < a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log_a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a ^x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, из-за которого становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.