Переход к единой системе измерения

Сказанное выше не отменяет другого важного правила: для всех величин должна применяться единая система измерения. Так, в задачах про рельсы длина этого самого рельса выражается в метрах, а удлинение — в миллиметрах. Прежде чем составлять уравнение, надо перевести все в метры.

Все числа должны быть переведены в единую систему измерения. И лишь затем можно составить уравнение, где единиц измерения не будет вообще.

Подобные задачи редко встречаются на ЕГЭ по математике, но уж если встретятся — мало не покажется. Поэтому рассмотрим еще раз задачу с рельсами:

Задача

При температуре 0 °С рельс имеет длину l₀ = 20 метров. При строительстве железной дороги между рельсами оставили зазор в 9 мм. Когда температура растет, начинается тепловое расширение рельса, и его длина вычисляется по формуле:

l(t) = l₀ · (1 + a · t)

где a = 1,2 · 10⁻⁵ (°C)⁻¹ — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение

Основная проблема в том, что длина рельса измеряется в метрах, а зазор — в миллиметрах. Переведем все в метры: если 1000 мм = 1 м, то 9 мм = 9 · 10⁻³ м = 0,009 м.

Теперь подумаем: что значит «зазор между рельсами исчезнет»? Очевидно, это произойдет в тот момент, когда рельс удлинится на величину зазора, поэтому искомая длина рельса равна l(t) = 20 + 0,009 м. Записываем уравнение.

Правильно

20 + 0,009 = 20 · (1 + 0,000012 · t); 20 + 9 · 10⁻³ = 20 · (1 + 1,2 · 10⁻⁵ · t);

Неправильно

20 м + 0,009 = 20 м · (1 + 1,2 · 10⁻⁵ · t); 20 м + 9 мм = 20 м · (1 + 1,2 · 10⁻⁵ · t).

Обратите внимание на коэффициенты. Их можно записать по-разному:

1. Десятичные дроби — простые и знакомые конструкции, но с ними придется повозиться;

2. Стандартный вид — более продвинутый прием, который значительно упрощает вычисления (см. урок «Стандартный вид числа»).

Всем своим ученикам я настоятельно рекомендую записывать числа именно в стандартном виде. Это очень просто и экономит много времени. А некоторые задачи (например, температура звезд) по-другому вообще не решаются.

Сводный тест по задачам b14 (2 вариант)

19 января 2012

Задача B14 вполне решаема, даже если вы не умеете работать с производными. Попробуйте этот тест — здесь собраны настоящие задачи из ЕГЭ по математике. Плюс парочка «нестандартных», которые дают на пробных экзаменах и контрольных работах.

Начало формы

• B1

Найдите наименьшее значение функции y = 7sin x + 8cos x − 17x − 18 на отрезке [−π/2; 0].

• 

• B2

Найдите наименьшее значение функции y = x³ − 4x² − 3x на отрезке [1; 5].

• B3

Найдите наименьшее значение функции y = (x² − 5x + 5) · e ^{x − 3} на отрезке [1; 5].

• B4

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−14; −1]:

• B5

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−8; 4]:

• B6

Найдите наибольшее значение функции y = x³ + x² − 16x на отрезке [−1; 5].

• B7

Найдите наименьшее значение функции:

• B8

Найдите наибольшее значение функции y = 7 − ln x + 5x − 2x² на отрезке [0,5; 4].

• B9

Найдите наибольшее значение функции:

• B10

Найдите наименьшее значение функции y = x³ − 6x² + 1 на отрезке [−3; 4].

• B11

Найдите наименьшее значение функции на заданном отрезке:

• B12

Найдите наибольшее значение функции y = (x − 4)² · e ^{x − 2} на отрезке [1; 3].

 B1

На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 22 литра бензина по цене 31 руб. 80 коп. за литр. Какую сдачу клиент должен получить у кассира? Ответ выразите в рублях.

 B2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите число месяцев во втором полугодии 1994 года, когда среднемесячная температура в Нижнем Новгороде находилась в интервале от −6 °C до 6 °C.

 B3

На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 12. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 B4

Для транспортировки 3 тонн груза на 350 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Перевозчик	Стоимость перевозки одним автомобилем (рублей на 10 км)	Грузоподъемность автомобилей (тонн)
А	90	1,8
Б	140	2,8
В	160	3,2

 B5

Найдите корень уравнения:

 B6

В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 39°, угол CAD равен 24°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

 B7

Найдите cos α, если известно следующее:

 B8

На рисунке показана зависимость расстояния от времени при движении теплохода по маршруту от начального пункта. На оси абсцисс откладывается время в часах, на оси ординат — пройденный путь в километрах. Найдите среднюю скорость теплохода на этом маршруте. Ответ дайте в километрах в час.

 B9

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, SD = 5, BD = 6. Найдите длину отрезка SO.

 B10

В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

 B11

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 4 раза?

 B12

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:

где m₀ (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m₀ = 16 мг. Период его полураспада T = 7 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 1 мг?

 B13

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 45 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 3 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

 B14

Найдите наибольшее значение функции:

 C1

Решите уравнение:

В ответе укажите корни, принадлежащие отрезку [3π/2; 5π/2]. Ответ дайте в градусах. Если чисел будет несколько, отделите их друг от друга точкой с запятой. Например: 45; 90

 C2

Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC, угол C = 90°. Кроме того, известно следующее:

Найдите угол между прямой C₁B и плоскостью ABB₁. Ответ дайте в градусах.

 C3

Решите систему неравенств:

 C4

Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 40, 29 и 30 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.

Если в ответе получатся дроби или иррациональные числа, округлите результат до ближайшего целого числа. Если ответов будет несколько, отделите их друг от друга точкой с запятой. Например: 50; 120

 C5

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции f (x) больше, чем −42:

В ответе укажите наименьшее целое значение a.

 C6

Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 510 и 740. Может ли такая прогрессия состоять из:

а) четырех членов? б) пяти членов?

В ответе просто отметьте верное утверждение.

• Только из четырех членов;

• Только из пяти членов;

• Может быть и четыре, и пять членов;

• Не может быть ни четыре, ни пять членов.