2.15. Повторные измерения (Парный критерий Стьюдента).

Парный критерий Стьюдента используется при измерении одних и тех же объектов до и после воздействия какого-либо фактора. Нулевая гипотеза состоит в том, что среднее изменение равно нулю.

Если δ – истинное среднее изменение признака, а d – наблюдаемое (выборочное) среднее изменение признака, то выборочное стандартное отклонение изменения признака:

а стандартная ошибка изменения признака:

Таким образом, парный критерий Стьюдента принимает вид:

При верности нулевой гипотезы:

Значение t следует сравнить с tкрит для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы ν=n-1.

Если t< tкрит, то нулевая гипотеза верна (воздействие не оказано). Если обычный критерий Стьюдента требует нормального распределения самих данных, то парный критерий Стьюдента требует нормального распределения их изменений.

2.16. Критерий Крускала-Уоллиса

,

где N – общее число наблюдений, объем комплекса;

n_i – численность вариант в каждой группе;

R_i – ранги вариант, ранжированных в общем порядке.

Условием для отвергания нулевой гипотезы на принятом уровне значимости α будет Н ≥ Н_st , где Н_st находят по таблице. При числе групп больше 3 или n ≥ 5 Н → χ² , поэтому величину Н можно сравнить с табличным значением χ²_st . Н₀-гипотезу отвергают, если Н ≥ χ²_st для принятого уровня значимости α и числа степеней свободы

k = m – 1, где m – число групп.

Пример. Тест резистентности эмали (ТЭР-тест).

Пробы	Возраст, лет
	3		4		5
	А1	R1	А2	R2	А3	R3
1	2	3	3	9,5	2	3
2	3	9,5	3	9,5	2	3
3	3	9,5	3	9,5	2	3
4	3	9,5	3	9,5	2	3
5	3	9,5	4	14	-	-
Суммы	ΣR1 = 41		ΣR2 = 52		ΣR3 = 12

Для n₁ =5; n₂ =5; n₃ =4 критическое значение при α = 0,05 Н_st = 5,66. Таким образом, Н₀-гипотеза отвергается на 5%-ном уровне значимости. Кислотная резистентность здоровых зубов в обследованных группах детей с возрастом достоверно изменяется.

2.17 Х-критерий Ван-дер-Вардена

Критерий применяют для проверки нулевой гипотезы при сравнении друг с другом независимых выборок.

- Сравниваемые выборки ранжируют в один общий ряд по возрастающим значениям признака. Каждому члену ряда присваивают порядковый номер.

- По порядковым номерам одной из выборок, обычно меньшей по объему, находят отношение , где N + 1 = n₁ + n₂ + 1, т.е сумма всех объемов выборок, увеличенная на единицу; а R – порядковый номер вариантов выборки в общем ранжированном ряду, их ранг.

- Находят (по специальной таблице) значения функции для каждого значения ;

- Суммируют результаты для выборки (обязательно с учетом знаков), получают величину , которую сравнивают с критической точкой этого критерия Х_st для принятого уровня значимости α и общего числа членов сравниваемых выборок, т.е. N = n₁ + n₂ (с учетом разности n₁ − n₂);

- Если Х_ф ≥ Х_st то предположение, что сравниваемые выборки извлечены из генеральных совокупностей с одинаковыми функциями распределения отвергают на принятом уровне значимости (выборка принадлежит разным генеральным совокупностям и разница между ними существенна).

Пример. Влияние кобальта на привес кроликов

Привес, г		Ранг
контроль	опыт
420		1
470		2
490		3
504		4
530		5
560		6
	561	7	7/18=0,389	−0,28
580		9
	580	9	9/18 = 0,500	0,00
580		9
600		11
	621	12	12/18=0,667	+ 0,43
	630	13	13/18=0,722	+ 0,59
	640	14	14/18=0,778	+ 0,77
	680	15	15/18=0,833	+ 0,97
	692	16	16/18=0,889	+ 1,22
	700	17	17/18=0,944	+ 1,59
n1 = 9	n2 = 8	−	−	+ 5,29

Найденная величина критерия Х_ф = 5,29 превосходит критическую точку Х_st = 4,44 для 1% уровня значимости и N = 9 + 8 = 17 с учетом разности n₁ − n₂ = 1, что дает основание отвергнуть нулевую гипотезу на высоком уровне значимости и заключить, что влияние кобальта на величину массы тела кроликов достоверно.