2.10 Однофакторный дисперсионный анализ

Сравнение нескольких средних. Понятие о дисперсионном анализе.

Пусть генеральные совокупности Х₁, Х₂,…,Х_р распределены нормально и имеют одинаковую, хотя и неизвестную дисперсию; матем. ожидания также неизвестны, но могут быть различными. Требуется при выбранном уровне значимости по выборочным средним проверить нулевую гипотезу Н₀: М(Х₁)= М(Х₂)= … = М(Х_р)о равенстве всех матем. ожиданий. Другими словами, проверить значимо или незначимо различаются выборочные средние. Казалось бы, для сравнения нескольких средних (р>2) можно сравнить их попарно. Однако с возрастанием числа средних возрастает и наибольшее различие между ними: среднее новой выборки может оказаться больше наибольшего или меньше наименьшего из средних, полученных до нового опыта. По этой причине для сравнения нескольких средних пользуются другим методом, который основан на сравнении дисперсий и поэтому назван дисперсионным анализом (в основном развит англ. статистиком Р. Фишером).

На практике дисперсионный анализ применяют, чтобы установить, оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор, который имеет р уровней 1,2, …, р на изучаемую величину Х.

Основная идея дисперсионного анализа состоит в сравнении так называемой «факторной дисперсии», порождаемой воздействием фактора, и «остаточной дисперсии», обусловленной случайными причинами. Если различие между этими дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние на Х; в этом случае средние наблюдаемых значений на каждом уровне (групповые средние) различаются также значимо.

Если уже установлено, что фактор существенно влияет на Х, а требуется выяснить, какой из уровней оказывает наибольшее воздействие, то дополнительно производят попарное сравнение средних.

Иногда дисперсионный анализ применяется, чтобы установить однородность нескольких совокупностей (дисперсии этих совокупностей одинаковы по предположению; если дисперсионный анализ покажет, что и мат. ожидания одинаковы, то в этом смысле совокупности однородны). Однородные же совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию, следовательно, и более надежные выводы.

Ограничимся простейшим случаем однофакторного анализа, когда на нормально распределенный признак Х воздействует только один фактор, который имеет р постоянных уровней.

Будем предполагать, что число наблюдений (испытаний) на каждом уровне одинаково и равно q.

Пусть наблюдалось n=pq значений х_ij признака Х, где i – номер испытания (i=1,2,…,q), j- номер уровня фактора(j=1,2,…,p).Результаты наблюдений приведены в табл.1.

Номер испытания	Уровни фактора
	1	2	…	р
1	x11	x12	…	x1p
2	x21	x21	…	x2p
…	…	…	…	…
q	xq1	xq2	…	xqp
Групповая средняя			…

Введем, по определению,

S_общ = (общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней ), (1)

S_факт = q (факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая характеризует рассеяние «между группами»), (2)

S_ост= …+ (остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней,которая характеризует рассеяние«внутри групп»)(3)

Разделив суммы квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы, получим общую, факторную и остаточную дисперсии:

Практически остаточную дисперсию находят по равенству:

S_ост = S_общ - S_факт

Вернемся к поставленной задаче: проверить нулевую гипотезу о равенстве нескольких средних нормальных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями. Покажем, что решение этой задачи сводится к сравнению факторной и остаточной дисперсий по критерию Фишера-Снедекора.

1. Пусть нулевая гипотеза о равенстве нескольких средних (групповых) правильна. В этом случае факторная и остаточная дисперсии являются несмещенными оценками неизвестной генеральной дисперсии и, следовательно, различаются незначимо. Если сравнить эти оценки по критерию F( Фишера-Снедекора), то критерий укажет, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий следует принять. Т. образом, если гипотеза о равенстве групповых средних правильна, то верна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

2. Пусть нулевая гипотеза о равенстве групповых средних ложна. В этом случае с возрастанием расхождения между групповыми средними увеличивается факторная дисперсия, а вместе с ней и отношение F_набл = s²_факт/s²_ост. В итоге F_набл окажется больше F_кр и, следовательно, гипотеза о равенстве дисперсий будет отвергнута.

Т.образом, если гипотеза о равенстве групповых средних ложна, то ложна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Легко доказывается от противного и справедливость обратных утверждений: из правильности (ложности) гипотезы о дисперсиях следует правильность (ложность) гипотезы о средних.

Итак, для того чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, достаточно проверить по критерию F нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий. В этом и состоит метод дисперсионного анализа.

Имеется обобщение вышеприведенных соотношений на случай разного числа испытаний на различных уровнях (см. Гмурман, С.358-361).