Вопрос 5,8 Уравнение конкуренции и их анализ ..

уравнения конкуренции имеют вид:

dx₁ /dt = x₁ (a₁ –b₁₂ x₂ – c₁ x₁)

dx₂/dt = x₂ (a₂ –b₂₁ x₁ – c₂ x₂)

Стационарные решения системы:

(1) x⁽¹⁾ ₁ = 0 x⁽¹⁾ ₂ = 0 (9.2)

Начало координат при любых параметрах системы представляет собой неустойчивый узел.

(2) x⁽²⁾ ₁ = 0 x⁽²⁾ ₂ = a₂ /c₂ (9.3)

Стационарное состояние (9.3) представляет собой седло при а₁ > b₁₂/c₂ и устойчивый узел при а₁ < b₁₂/c₂.. Это условие означает, что вид вьмирает. если его собственная скорость роста меньше некоторой критической величины.

(3). x⁽³⁾ ₁ = a₁ /c₁ x⁽³⁾ ₂ = 0 (9,4)

Стационарное решение (9.4) — седло при a₂ > b₁₂/c₁ и устойчивый узел при a₂ < b₁₂/c₁

(4).x₁ = a₁c₂ – a₂b₁₂ /c₁c₂ – b₁₂b₂₁ x₂ = c₁b₁₂ – b₂₁a₁ /c₁c₂ – b₁₂ b₂₁ (9.5)

Стационарное состояние (9.5) характеризует сосуществование двух конкурирующих видов и представляет собой устойчивый узел в случае выполнения соотношения:

A₁b₁₂/c₂< a₁ < a₂c₁ / b₂₁

Отсюда следует неравенство:

B₁₂b₂₁<c₁c₂ (9.6)

позволяющее сформулировать условие сосуществования видов:

Произведение коэффициентов межпопуляциоииого взаимодействия меньше про­изведения коэффициентов внутрипопуляционного взаимодействия.

Действительно, пусть естественные скорости роста двух рассматриваемых ви­дов a₁a₂ одинаковы. Тогда необходимым для устойчивости условием будет

С₂ >b₁₂, С₁ >b₂₁,

Эти неравенства показывают, что увеличение численности одного из конкурентов силь­нее подавляет его собственный рост, чем рост другого конкурента. Если численность обоих видов ограничивается, частично или полностью, различными ресурсами, приве­денные выше неравенства справедливы. Если же оба вида имеют совершенно одина­ковые потребности, то один из них окажется более жизнеспособным и вытеснит свое, конкурента.

Рис. 9.1. Расположение гласных изоклин на фазовом портрете вольтерровской системы кон­куренции двух видов (9.2) при разном соотношении параметров. Пояснения в тексте.

Поведение фазовых траекторий системы дает наглядное представление о возмож­ных исходах конкуренции. Приравняем нулю правые части уравнений системы (9.2):

x₁ (a₁ –b₁₂ x₂ – c₁ x₁) = 0 dx₁ /dt = 0),

x₂ (a₂ –b₂₁ x₁ – c₂ x₂) = 0 dx₂/dt = 0

При этом получим уравнения для главных изоклин системы:

x₂ = –b₂₁ x₁/ c₂ + a₂\c₂ x₂ = 0

— уравнения изоклин горизонтальных касательных,

x₂ = –c₁ x₁/ b₁₂ + a₁\b₁₂ x₁ = 0

- уравнения изоклин вертикальных касательных. Точки попарного пересечения изо­клин вертикальных и горизонтальных касательных систем представляют собой стаци­онарные решения системы уравнений (9.2), а их координаты xⁱ₁ xⁱ₂ ( i= 1 – 4) суть стационарные численности конкурирующих видов.Для изучения конкуренции видов ставились эксперименты па самых различных организмах. Обычно выбирают два близкородственных вида и выращивают их вме­сте и по отдельности в строго контролируемых условиях. Через определенные проме­жутки времени проводят полный или выборочный учет численности популяции. Регистрируют данные по нескольким повторным экспериментам и анализируют..

Широко известны эксперименты по изучению конкуренции Г. Гаузе, продемон­стрировавшие выживание одного из конкурирующих видов и позволившие ему сфор­мулировать «закон конкурентного исключения». Закон гласит, что в одной экологи­ческой нише может существовать только один вид.