3. Исследование устойчивости стационарных состояний моделей биологических систем.

Пусть система находится в состянии равновесия. Тогда изображающая точка находится в одной из особых точек системы. Устойчива или нет особая точка, определяется тем, уйдет или нет изображающая точка при малом отклонении от стационарного состояния. Применительно к системе из двух уравнений определение устойчивости на языке ε, δ выглядит следующим образом. Состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области отклонений от состояния равновесия (ε) можно указать область δ(ε), окружающую состояние равновесия и обладающую тем свойством, что ни одна траектория, которая начинается внутри области δ, накогда не достигнет границы ε (рис. 4.4).

4.4рис.

Для большого класса систем – грубых систем характер поведения которых не меняется

при малом изменении вида уравнений, информацию о типе поведения в окресности стационарного состояния можно получить исследуя не исходную, а упрощённую линеаризованную систему.

Рассмотрим систему 2х линейных уравнений:

dx/dt = ax + by и dy/dt = cx + dy 4.4

a, b, c, d – константы, x, y – декартовы координат на фазовой плоскости.

Общее решение будем искать в виде:

x = Ae^λt y = Be^λt 4.5

Подставим эти выражения в 4.4 и сократим на e^λt

λA = aA + bB, λB = cA + dB 4.6

Система 4.6 имеет ненулевое решение, когда её определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных = 0

| a-λ b |

| c d-λ | =0

Раскрыв этот определитель(матрицу) получим уравнение системы:

λ² – (a + d)λ + (ad - bc)= 0 4.7

Решение этого уравнения даёт значения показателя λ_1,2 , при которых возможны ненулевые для А и В решения уравнения 4.6.

λ_1,2 = (a +b)/2 ± (((a+d)²- 4(ad + bc))/4 )^½

Если подкоренное выражение отрицательно, то λ_1,2 – комплексно сопряженные числа.

Для анализа характера возможных траэкторий системы на фазовой плоскости используют линейные однородные преобразования координат, которые позволят превезти систему к каноническому виду:

dξ/dt = λ₁ξ, dη/dt = λ₂η 4.10

допускающее более удобное представление на фазовой плоскости по сравнению с исходной системой 4.4

Введём новые координаты по формулам : ξ = αx + βy, η = γx+ δy 4.11

В случае неравенства 0 действительных частей λ₁ λ₂ исходную систему 4.4 при помощи преобразований 4.11 можно преобразовать в 4.10 и изучить её поведение на фазовой плоскости ξ, η.

Рассмотрим случаи:

1. Корни λ₁ λ₂ действительны и одного знака.

Поскольку корни λ₁ λ₂ действительны и одного знака, а > 1, и мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа. Все интегральные кривые (кроме оси η, которой соот- ветствует с = бесконечности) касаются в начале координат оси ξ , которая также являетя интегральной кривой уравнения 4.11 Начало координат является особой точкой. Если λ₁ λ₂ отрицательны, то, как видно из урапниепий (4.10), |ξ| |η| убывают с течением времени. Изображающая точка приближается к началу координат, никогда, однако, не достигая его. В противном случае это противоречило бы теореме Коши которая утверждает ,что через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь 1 фазовая траектория. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые подобно тому, как семейство парабол у = cx^a (а > 0) проходит через начало координат, носит название узла(1и2 рис).

Сосотояние равновесия типа узел при λ_{1 ,} λ₂ < 0 устойчиво по Ляпунову, т.к. изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Это устойчивый узел. Если же λ_{1 ,} λ₂ > 0, то |ξ| |η| возрастают с течением времени и изображающая точка удаляется от начала координат. В этом случае особая точка – неустойчивый узел.

2. Корни λ₁ λ₂ действительны и разных знаков.

η = с|ξ|^-а

Это уравнение определяет семейство кривых гиперболического типа, где оси координат -асимптоты. Оси координат и здесь будут интегральными кривыми, проходящими через начало координат. Каждая из них состоит из 3х фазовых траэкторий: из 2х движущихся к состоянию равновесия (или от него) и из состояния равновесия. Все остальные интегральные кривые суть гиперболы, не проходящие через начало координат. Такая особая точка называется седло(6рис).

Если λ₁>0 _, λ₂ < 0, тогда изображающая точка, помещенная на оси ξ, будет удаляться от начала координат, а помещенная на оси η – будет неограниченно приближаться к началу координат, не достигая его за конечное время. Где бы не находилась изображающая точка в начальный момент, она в конечном счёте будет удаляться от состояния равновесия, даже если в начале она движется по одной из интегральных кривых по направлению к особой точке. Очевидно, что особая точка типа седла всегда неустойчива.

3. Корни λ₁ λ₂ - комплексные сопряженные.

При действительных x и y мы имеем комплексные сопряженные η и ξ (4.10). Но если ввести еще 1 промежуточное преобразование, можно и в этом случае свести рассмотрение к действительному линейному однородному преобразованию:

λ₁ = a₁ + ib₁, λ₂ = a₁ - ib_1, ξ = u + iv, η = u + iv , 4.16

где a, b и u, v –действительные величины.

В силу уравнений 4.10, 4.16 : du/dt +idv/dt = (a₁ + ib₁)( u + iv) dv/dt - idv/dt =( a₁ - ib₁)( u - iv) откуда : du/dt = a₁u – b₁v, dv/dt = a₁v + b₁u 4.17

Разделив второе на первое : dv/du = (a₁v + b₁u)/( a₁u – b₁v)

Оно легче интегрируется, если перейти к полярным системам координат (r,φ)

После подстановки u = r cosφ, v = r sinφ, получим dr/dφ = a₁/ b₁r откуда r = Ce^a/b (4.18)

На фазовой плоскости мы имеем дело с семейством логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптотическую точку в начале координат. Особая точка, которая является асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называют фокусом(3 и 4 рис).

Пусть a₁<0. Изображающая точка тогда непрерывно приближается к началу координат. Фазовые траектории представляют собой скручивающиеся спирали и соответствуют затухающим колебаниям переменных. Это устойчивый фокус (рис 3). Здесь , как и в случае устойчивого узла выполняется не только условие Ляпунова, но и более жесткое условие. Начальные отклонения не только не нарастают, но затухают, стремясь к 0. Это абсолютная устойчивость.

Если a₁>0, изображающая точка удаляется от начала координат. Это неустойчивый фокус (рис 4).

Если a₁=0, то фазовыми траекториями на плоскости будут окружности u² + v² = const, которым на плоскости x и y соответствуют эллипсы. Т.о. при a₁=0 через особую точку x=0 y=0 не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка , вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, в частности эллипсы, вложенные друг в друга и охватывающие особую точку, называют центром (рис 5)

Вывод: Т.о возможно 6 типов равновесия, в зависимости от характера корней уравнения 4.7. Вид фазовых траекторий изображен на рисунках 1-6 на плоскостях x и y.(в плоскостях η и ξ они не деформированы). Пять типов грубые, их характер не изменяется при малом изменении правых частей уравнения 4.4. При этом малыми должны быть изменения не только правых частей, но и их первых производных. Шестое состояние равновесия – негрубое. При малых изменениях параметров правых чатей уравнений он переходит в устойчивый или неустойчивый фокус.