5. Вопросы по методам математического моделирования в биологии

5.1 Исследование мат. Модели

Модель – упрощение объекта исследований, отражающее св-ва кот. интересуют исследователя.

Моделирование – метод, при кот. Производится замена некот. Объекта.

Этапы моделирования:

1. Первичный сбор информации. Необходимо получить инф-ю о хар-ках объекта.

2. Постановка задачи. Формул-ся цель исслед-я, задачи.

3. Обоснование осн-х допущений.

4. Создание модели и ее исслед-е.

5. Проверка адекватности модели ее объекту.

Модели м. разделить на:

1. математические – описание процесса с помощью мат. выражений.

2. физические.

3. биологические.

На первом этапе устан-ся величины группы величин, между ними устан-ся связь. На втором этапе вычисляется экспонента. Исследуют модель интегр. и диф. ур-ями. далее написание вычислит. алгоритмов, программирование алгоритма на ЭВМ. На 4 этапе проведение расчетов на ЭВМ, а за\тем интерпретация вычислений.

Требования кот. д. отвечать модель:

1. Адекватность – соответствие модели объекту.

2. д.б. установлены границы применимости модели.

Уравнение первого порядка.

Пусть х – число организмов одного вида;

t –временная переменная. Тогда

Если система автономная, то правая часть уравнений не зависит от времени и уравнение примет вид:

(1)

С помощью уравнения (1) м. проследить дальнейшую эволюцию системы

Со временем точка б. смещаться вдоль оси х.

Если рассмотреть множество систем, у кот. начальные координаты в нач. момент времени t_o различные, то получим множество непересекающихся кривых. Это интегральные картины создающие фазовый портрет системы..

Стационарная точка – это точка, при кот. . Стац. точка, точка равновесия, положение равновесия – это тождественные понятия.

Точки равновесия м.б. устойчивые или неустойчивые.

Неустойчивое состояние – будет уходить от равновесия. При наблюдается асимптотически устойчивое состояние равновесия; а если - устойчивое.

Изучение устойчивости стационарных точек по методу Ляпунова

- стационарная точка. Исследуем является ли точка устойчивой стац. точкой.

Пусть .

= const

Подставляем в уравнение

Здесь

Здесь Тогда

отсюда

Если - то возрастает;

то стремится к 0;

- то не нужно отбрасывать слагаемые.

Если , то положение - устойчивое, если то положение - неустойчивое равновесие.

5.2 Исследование моделей биологических систем, описываемых системами двух автономных дифференциальных уравнений.

Исследовать модели биосистем, описываемых системами двух автономных дифференциальных уравнений можно при помощи метода фазовой плоскости. Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида: P (x, y), Q (x, y) – непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого.

Область G может быть как неограниченной, так и ограниченной. Если переменные х, у имеют конкретный биологический смысл (концентрации веществ, численности видов), чаще всего область G представляет собой положительный квадрант правой полуплоскости.

Переменные х, у во времени изменяются в соответствии с системой уравнений, так что каждому состоянию системы соответствует пара значений переменных (х, у). Обратно, каждой паре переменных соответствует определенное состояние системы.

Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных х, у. Каждая точка М этой плоскости соответствует определенному состоянию системы. Такая плоскость носит название фазовой плоскости и изображает совокупность всех состояний системы. Точка М (х,у) называется изображающей или представляющей точкой.

Пусть в начальный момент времени t = tо координаты изображающей точки М0 (x(t0), y(t0)). В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет смещаться в соответствии с изменением значений переменных. Совокупность точек на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных согласно уравнениям, называется фазовой траекторией.

Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает «портрет» системы. Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о характере изменений переменных без знания аналитических решений исходной системы уравнений.

Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке фазовой плоскости. Задача построения векторного поля упрощается, если получить выражение для фазовых траекторий в аналитическом виде. Для этого делим второе уравнение на первое. Решение этого уравнения дает семейство интегральных кривых уравнения фазовых траекторий системы на плоскости.

Метод изоклин.

Для построения фазового портрета пользуются методом изоклин – на фазовой плоскости наносят линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом. Уравнение изоклин легко получить. Положим dx/dy=A, где А – определенная постоянная величина. Значение А представляет собой тангенс угла наклона касательной к фазовой траектории. В каждой точке плоскости существует единственная касательная к соответствующей интегральной кривой за исключением точки, где P(x,y)=0, Q(x,y)=0, в которой направление касательной становится неопределенным, т.к. при этом становится неопределенным значение производной. Эта точка является точкой пересечения всех изоклин – особой точкой. В ней одновременно обращаются в нуль производные по времени переменных х и у.

Особый интерес представляют главные изоклины (нуль-изоклины): изоклины вертикальных и горизонтальных касательных. Построив главные изоклины и найдя точку их пересечения мы найдем тем самым точку пересечения всех изоклин фазовой плоскости, в которых направление касательных к фазовым траекториям не определено. Это особая точка, которая соответствует стационарному состоянию системы. Система обладает столькими стационарными состояниями, сколько точек пересечения главных изоклин имеется на фазовой плоскости. Фазовые траектории системы - это проекции интегральных кривых в пространстве всех трех измерений x, y, t на плоскость x,y.