Вопрос 4.5 Метод крутого восхождения.
Предположения: - область поверхности отклика гладкая (функция дифференцируема); - имеется только 1 вершина (если 2 пика и >, то область разбивают на 2 и > частей)
Пусть влияют 2 фактора. Фиксируют 1 фактор, а 2–й меняют. Например, зафиксировали x1 и меняют x2 с выбранным шагом, причем x2 сначала возрастает до определенного значения (до пика), потом начинается спад. В точке максимума фиксируют x2 и меняют x1 так же до нахождения максимума. Можно повторить данный алгоритм для нахождения более точного значения (т.е. в точку max x1 фиксируют и начинают менять x2). Описанный метод – Гаусса-Зайделя.
В 1961 г Бокс и Уилс предложили свой метод. Берут точку (x1, x2), находят функцию отклика – y. Намечают рядом 4 точки (1,2,3 и 4), далее в каждой из этих точек снова ставится эксперимент, и находят значения у (у1, у2, у3, у4).
По этим 4м значениям функции у проводят плоскость – касательную к поверхности отклика. По плоскости определяют направление, по которому нужно двигаться с выбранным шагом, чтобы значение у возрастало. При уменьшении значения у снова строят плоскость, и снова задается направление.
Данный метод имеет преимущество в случае искаженной картинки.
Метод экспериментального поиска экстремума функций многих переменных, соединяет лучшие черты градиентных методов и метода Гаусса – Зайделя. От градиентных методов здесь воспринято выполнение рабочего движения вдоль вектор — градиента, а от метода Гаусса – Зайделя взят принцип продвижения не на один рабочий шаг (как в методе градиента), а до достижения частного экстремума функции. Отклика, без его корректировки на каждом шаге
Вопрос 4.6 Симплексный метод оптимизации.
Сисплекс – выпуклая геометрическая фигура, имеющая в пространстве размерности n n+1 вершину. Т.е. в двухмерном пространстве это треугольник, в трехмерном – тетраэдр и т.п.
Симплекс называют регулярным, если длины всех его сторон равны.
Пример: исследуем влияние 2х факторов – строим начальный симплекс и в 3х точках (вершины симплекса) проводим эксперимент. Из 3х полученных значений находим минимальное; пусть минимальное у1 – эту точку отображаем относительно прямой у2у3. Снова проводим эксперимент, ищем минимальное значение, точку с минимальным значением отображаем и т.д.
Так исследуем до тех пор, пока новая (отображенная) точка не будет иметь минимального значения (т.е. в этом случае нужно вернуться в предыдущую точку – зацикливание). В этом случае возвращаются на шаг назад и отображают другую точку (т.е. не минимальную, а среднюю). Если все точки вызывают зацикливание, значит максимум найден – вершина с максимальным значением
Для 3х факторов – вращается уже не треугольник, а тетраэдр.
Плюсы метода:
полностью формализован, дает четкие правила когда и как изменить направлениепоиска (легко создать программу на компьютере);
не требует проведения статистического анализа результата, как при методе крутого восхождения;
в процессе оптимизации вычисления просты – сводятся на каждом шаге к определению координат 1 точки;
не требует точного измерения выходного показателя, достаточно их ранжировать, чтобы различить худшее значение;
на любом этапе оптимизации легко добавить еще 1 фактор, путем введения в симплекс еще 1 точки, которая вместе с другими точками образует симплекс с размерностью на 1 больше;
в процессе оптимизации движение к оптимуму осуществляется после каждого шага, а не после серии опытов (психологическое значение – не нужно ставить опыт, который ожидается плохим)
метод хорошо приспособлен для оптимизации дрейфующих объектов (например в биотехнологии) – симплекс будет отслеживать дрейфующий объект;
постановка опыта не предъявляет строгих требований к регулярности симплекса.
Минусы метода:
метод дает ограниченную информацию о поверхности отклика, не оценивает взаимодействующие факторы;
все факторы должны быть количественными;
эффективность метода сильно снижается с ростом ошибки эксперимента (в результате зацикливания)