Вопрос 1.6 Распределение «хи-квадрат», t-распределение Стьюдента, распределение f Фишера-Снедекора.

С нормальным распределением тесно связаны непрерывные распределения: распределение «хи-квадрат», распределение Стьюдента, распределение F Фишера-Снедекора

Распределение «хи-квадрат»:

Пусть X_i (i=1,2,…n)- нормальные независимые случайные величины, причем матем. ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице. Тогда сумма квадратов этих величин

χ² = (1)

распределена по закону χ² («хи квадрат»)с n степенями свободы. Если эти величины связаны одним линейным соотношением, например, = n , то число степеней свободы равно k = n-1.

Плотность этого распределения f(x) равна нулю при х≤0 и

при х > 0, где Г(гамма-функция)=∫ t ^{x - 1} e ^{– t} dt

Отсюда видно, что распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Распределение «хи-квадрат» расположено правее оси ординат и является асимметричным распределением.

Математическое ожидание равно М(χ²)= n,

а дисперсия равна D(χ²)= 2n.

Если n>30 , то распределение величины z = является приближенно нормальным с нулевым средним и единичной дисперсией.

Замечание: Распределение «хи квадрат» играет важную роль при исследовании выборочной дисперсии s² для выборки, взятой из нормально распределенной совокупности.

t-распределение Стьюдента:

Пусть Z – нормальная случайная величина, причем М(Z)=0, D(Z)=1,а V- независимая от Z величина, которая распределена по закону «хи-квадрат» с k степенями свободы. Тогда величина

, (2)

имеет распределение, которое называется t-распределением или распределением Стьюдента с k степенями свободы.

С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

Плотность распределения Стьюдента имеет следующий вид:

S(x,k)= B_k [1+t²/k]^-(k+1)/2,

где B_k = .

Видим, что распределение Стьюдента симметрично относительно оси ординат с нулевым математическим ожиданием. Его дисперсия равна k/(k-2).

Замечание: Это распределение играет важную роль в тех случаях, когда рассматриваются выборочные средние и неизвестна дисперсия генеральной совокупности.

Распределение F Фишера-Снедекора

Если U и V – независимые случайные величины, распределенные по закону «хи квадрат» со степенями свободы m и n, то величина

имеет распределение, которое называют распределением F Фишера-Снедекора со степенями свободы m и n (иногда его обозначают через V²).

Плотность этого распределения:

f(x) = 0 при х ≤ 0

f(x) =С₀ х^(m-2)/2/(n+mx)^(n+m)/2 при х >0,

где С₀ =

Видим, что распределение F определяется двумя параметрами – числами степеней свободы. Распределение Фишера-Снедекора асимметрично и расположена правее оси ординат.

Математич. ожидание F-распределения равно n/(n-2),

а дисперсия равна 2n² (m+n-2)/(m(n-2)²(n-4)) (n>4).

В пределе при n→ ∞ матем. ожидание становится равным 1, а дисперсия равной 2/m.

Замечание: F-распределение приобретает особую важность, когда сравниваются выборочные дисперсии из нормально распредеденных совокупностей. Оно также используется в регрессионном и дисперсионном анализе.