34.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

вид: y^’’+py^’+qy=0.

Характеристич ур-ие для однородного ур-ия – квадратное уравнение: —относительно неизвестной .

В соответствии со знаком дискриминанта D=p²-4q возможны 3 случая:

1. D>0. Общее решение :

2. D=0. Общее решение:

3. D<0. Тогда действительных корней характеристическое уравнение не имеет. В этом случае находятся числа

α=-p/2, . Общее решение уравнения будет иметь вид:

№35. Линейные неоднородные диф уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

вид: y''+py'+qy=f(x).

Общее решение находится по формуле y=y₀+ỹ, где y₀- общее решение соответствующего однородного уравнения, а ỹ-частное решение неоднородного уравнения.

f( x)=e^{α x} P_n(x)

Сравнивают α с корнем характеристического уравнения:

а)если α не корень уравнения, то ỹ=e^αx Q_n(x), где Q_n(x) многочлен степени n c неопределённым коэффициентом;

б) если α корень кратности k, то ỹ=x^ke^αxQ_n(x)

f( x)= e^αx(Pn(x)sinβx+ Q_n(x)cosβx)

а) ỹ= e^αx(M_n(x) sinβx+N_n(x) cosβx), если не совпадают

б) ỹ=x e^αx(M_n(x) sinβx+N_n(x) cosβx)

№37. Понятие числового ряда, суммы ряда:

Рассмотрим числовую последовательность a₁,a₂,a₃…a_{n ,} a_n R

a₁+a₂+a₃+…+a_n +…= - числовой ряд, a_n – общий член ряда

П усть S₁=a₁

S₂=a₁+a₂ n-частичные суммы

………..

S_n= a₁+a₂+a₃+…+a_n

Частичные суммы образуют последовательность.

О пределение. Суммой ряда называют S=lim S_n , если он существует, если он не существует или равен бесконечности, то ряд расходится.

Геометрическая прогрессия:

a+aq+aq²+…+aqⁿ+…

S_n=a+aq+…+aq^n-1

qS_n=aq+aq²+…+aqⁿ

S_n-qSn=a-aqⁿ

S=lim S_n= lim

1.Если <1, то ряд сходится и S=lim S_n= lim

2.Если 1,то ряд расходится

38.Простейшие св-ва сход.Рядов. Необх.Признак сход-ти ряда.

1)Cв-ва: (1)

1.Если (1) сходится,и его сумма равна S, то и ряд

, также сходится и его сумма равна cS.

2.Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и ,то

ряд также сходится и его сумма равна

2)Признак:Если ряд(1) сходится,то его n-й член стремится к нулю при

, т.е.

Док-во:

Следствие из признака:Если n-й член ряда не стремится к нулю при то ряд расходится.

39. Интегральный признак сходимости.

Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают: a₁>=a₂>=…>=a_n>=…, а f(x) – функция, определённая для x>=1, непрерывная, невозрастающая и f(1)=a₁, f(2)=a₂,…,f(n)=a_n,… Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл

Док-во: Рассмотрим ряд

(1.1)

Его частичными суммами будут также интегралы:

Сходимость ряда (1.1) означает существование предела последовательности его частичных сумм: т.е. сходимость несобственного интеграла (1.2) Из свойств функции f(x) следует, что

(1.3)

Интегрируя неравенства (1.3) на отрезке , получаем:

или (1.4)

Пусть ряд сходится. Тогда из того, что по признаку сравнения должен сходиться составленный из интегралов ряд (1.1), а следовательно, и несобственный интеграл (1.2).

Пусть теперь ряд расходится. Тогда расходится и ряд a₂+a₃+…+a_n+…, полученный из данного ряда отбрасыванием его первого члена. Так как (см. 1.4), по признаку сравнения должен расходиться ряд интегралов (1.1), т.е. несобственный интеграл (1.2).

№41. Знакопеременные ряды. Абсол. и условн. сходимости.

Ряд называется знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака.

Пусть задан знакопеременный ряд

∞

a ₁+a ₂+ ... +a _n +…= ∑ a _n , (1)

n=1

где числа а₁, а₂, … , а _n , ... могут быть как положительными, так и отрицательными. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

∞

|а₁|+|а₂|+…+|а _n|+…=∑ |a _n| (2)

n=1

Определение 41.1. Если сходится ряд (2), то ряд (1) называется абсолютно сходящимся. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно (или неабсолютно) сходящимся.

Теорема 41.1. Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (1) сходится абсолютно. Это значит, что сходится ряд (2). Обозначим через S _n частичную сумму ряда (1), а через δ _n – частичную сумму ряда (2)

S _n= a ₁+a ₂+ ... +a _n ,

δ _n=|а ₁|+|а ₂|+…+|а _n| .

Так как ряд (2) сходится, то последовательность { δ _n } его частичных сумм имеет предел lim δ _n = δ , причем

n→∞

δ _n ≤ δ для любых n, (3)

поскольку члены ряда (2) положительны. Обозначим через S_n’ сумму положительных членов, а через S_n” – сумму абсолютных величин отрицательных членов, содержащихся в сумме S_n . Тогда

S_n= S_n’ - S_n” , (4)

δ_n = S_n’ + S_n” . (5)

Из равенства (5) следует, что { S_n } и { S_n” } монотонно возрастают при возрастании n, а из (3) – что они являются ограниченными: S_n'≤ δ_n ≤ δ ,

S_n” ≤ δ_n ≤ δ .

Следовательно, существуют пределы

lim S_n’ = S’, lim S_n” =S”.

n→∞ n→∞

Тогда в силу равенства (4) последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел

lim S_n= lim (S_n’- S_n”) = lim S_n’ – lim S_n” = S’ – S” ,

n→∞ n→∞ n→∞ n→∞

а это значит, что ряд (1) сходится. Ч.Т.Д.

№44. Ряды Тейлора и Маклорена:

.

(1)

-ряд Тейлора.

(2)

-ряд Маклорена.

Теорема1:

Для того, чтобы ряд Тейлора (1) ф-ции f(x) сходился к f(x) Н.и Д., чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к 0 при ,т.е. чтобы .

Теорема2:

Если модули всех производных функции f(x) ограничены в окрестности точки х₀ одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора ф-ции f(x) сходится к ф-ции f(x), т.е. имеет место разложение (1).

№45 Разложение функций sin x, cos x, e^x в ряд Маклорена. Биномиальный ряд?/??????

№46. Применение рядов к приближенным вычислениям.

Степенные ряды примен для вычисления с заданной точностью значений функции; для приближенного вычисления определ.интегралов, при интегрировании диф.уравнений. Для вычисления приближ значения ф-ции в её разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а остальные члены отбрасывают. Чтобы получить погрешность найденного приближ значения, нужно оценить сумму отброш членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброш членов, сравнивают с бесконечно убывающей геом прогрессией. Если ряд знакопеременный и его члены удовлетворяют признаку Лейбница, то исп-ся оценка r<a _n+1., где a _n+1 - первый из отброшенных членов, т.е. ошибка приближенного вычисления не превосходит абсолютной величины первого из отброш членов.