2 Метод вариации произвольной постоянной

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

. Далее находится решение получившегося однородного диф уравнения.

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С₁ некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

Из этого уравнения определим переменную функцию С₁(х):

Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

№32 (линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка)

Определение. Дифференциальные уравнения вида

А(x)’’+B(x)y’+K(x)y=f(x), где

А(х)≠0, В(х),К(х), f(x) – функции, заданные на некоторых

множествах, называются линейными диф. ур. втор. пор.

Если А≠0, В,К – постоянные, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами, если же f(x)=0,

То линейным однородным.

Cвойства:

1. Если y=y1(x) – решение уравнения

А(х)y’’+В(х)y’+К(x)y´=0, (11.21)

То функция y=Cy1(x), где С-0любое постоянное, также будет решением уравнения.

2. Если y=y1(х) и y=y2(x) – два решения ур-я, то и

у = С1y1(x)+C2y2(x)

(где С1, С2 - произвольные числа) – тоже решение ур.

Вронскиан.

Если решения у1(х), у2(х) уравнения (11.21) линейно независимы, то решение у(х)=С1у1(х)+С2у2(х), где С1,С2 – произвольные портоянные, является общим.

Доказательство. Для доказательства следует лишь проверить то, что функция у=С1у1+С2у2 решает любую задачу Коши для начальных условий (х0 € Х, у0,у’0).

Пусть х € Х, у0,у’0 – произвольные числа. Для решения задачи Коши необходимо и достаточно, чтобы линейная система относительно С1 И С2

у1(х0)С1+у2(х)С2=у0, │

у’1(х0)С1+у’2(х0)С2=у0 │ (11.25)

имела единственное решение для любых х0 € Х,

у0, у’0.

Это условие эквивалентно тому, чтобы на Х

W’(x)=│y1(x) y2(x) │

│ y’1(x) y’2(x)│= y1(x) y’2(x)- y’1(x) y2(x) ≠ 0 (11.26)

Покажем, что если определитель W(x) отличен от нуля в одной точке х0 € Х , то он отличен от нуля на всем множестве Х.

Определитель W(x) называется вронскианом или

Определителем Вронского уравнения (11.21).

Пусть в некоторой точке х0 € Х W(x0) = W0≠0.

Продифференцировав Ур.(11.26), получим:

W’(x)= y’1(x) y’2(x)+ y1(x) y’’2(x)-y1’’(x)y2(x)-y’1(x)y’2(x)=-(B(x)/A(x))(y1(x)y’2(x)-y’1(x)y2(x))=-(B(x)/A(x))W(x),

Т.е. вронскиан удолетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению

W’(x)+(B(x)/A(x))W(x)=0,

A значаит, х

W(x)=W0exp(-∫ (В(t)/A(t)dt)).

х0

Поскольку на X A(x)≠0 и A(х), B(x) непрерывны, то

х

Exp(-∫ (В(t)/A(t)dt)) непрерывна на X и не обращается в

х0

нуль, что и доказывает утверждение.

Пусть у1(х), у2(х) – линейно независимые решения ур (11.21):

Очевидно, что ψ’(x)≠ 0 на Х, тогда в некоторой

Точке х0 € Х ψ’(x)≠ 0. Имеем

(у2(х)/у1(х))’=((у1(х)у’2(x)-y’1(x)y2(x)/y1^2(x))=(W(x)/y1^2(x))=ψ’(x).

Таким образом

Отсюда следует однозначная разрешимость уравнения (11.25) и то,что функция (11.22) есть общее решение Ур (11.21).

Два линейно независимых решения у=у1(х), у=у2(х) называют фундаментальной систеиой решений уравнения (11.21)

№33. Комплексные числа.

Комплексным числом - всякая упорядоченная пара (a;b) действительных чисел.

Х,Y=R z:(x,y)→(x+iy)

=i (мнимая единица)

i²=-1

Арифметические операции

1.Сложение и вычитание

Z₁=x₁+y₁, z₂=x₂+y₂ z₁+z₂=x₁+x₂+i(y₁+-y₂)

2.Умножение чисел

z₁ z₂=(x₁+iy₁)(x₂+iy₂)=x₁ x₂+x₁ y₂+x₂ y₂-y₁ y₂

z₁z₂=x ₁x₂-y₁ y₂+i(x ₁y₂+x₂ y₁)

3. Деление

z₁/z_{2= (}x₁+iy₁)(x₂-iy₂)/(x₂+iy₂)(x₂-iy₂)=((x₁x₂+y₁y₁)+i(x₂y₁-x₁y₂))/x ²₂+y ²₂= (x₁x₂+y₁y₂)/(x ₂² +y ²₂) + i(x₁y₁-x₂y₂/x ²₂+y ² ₂)

z=x+iy

Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

формула Эйлера