26. Геом. И экон. Приложения опр. Интеграла. S плоской фигуры. Объем тела вращения
y=f(x) (f(x)≥0), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми x=a и x=b и отрезком оси абсцисс a≤x≤b, определяется формулой
Объём тела вращения криволин. трапеции, ограниченной кривой y= f(x), осью Ох и двумя прямыми x=a и x=b, вокруг оси Ох
Объём
тела, образов.
вращением вокруг
оси Oy
фигуры, огранич. кривой x=g(y),
осью Oy
и двумя прямыми y=c
и y=d,
Длина дуги гладкой кривой y=f(x) между двумя точками с абсциссами x=a и x=b
Средняя производительность труда, средняя мощность и др. вычисляется по формуле
-среднее
значение функции.
27. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Пусть
функция y=f(x) определена на бесконечном
промежутке
(т.
е. на отрезке
для
любого А>a).
Несобственным
интегралом
от функции f(x) на бесконечном промежутке
называют предел
.
Если lim сущ и конечен, то несобств. интеграл сходящийся. Если предел не сущ, то несобств интеграл расходящийся.
Несобственный
интеграл на бесконечном промежутке
определяется
аналогично.
Пусть функция y=f(x) определена для всех х.
Несобственным
интегралом с двумя бесконечными пределами
интегрирования
называется предел
,
если он существует и конечен.
=
+
.
Если два последних интеграла сходятся,
то их сумма равна несобственному
интегралу с двумя бесконечными пределами
интегрирования, где а
произв.число.
28. Дифф-е ур-я.
Соотношение
вида
наз-ся
обыкновенным
ДУ n-го
порядка, если
в F
явно входит
(старшая
производная) и не входят производные
,
где m>n.
n
определяет порядок ур-я. y’=f(x,y)
– ур-е 1-го порядка. Если ф-я определена
в
,тоy=y(x)
будет наз-ся
решением
ур-я
(ур-е
n-го
порядка разрешенное относительно
старшей производной) на
Задача
Коши:
нужно выделить
реш-е, кот-е удовл. нач. условию (знак
системы)
№29.Диф уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
Уравнение вида y´=f(x)g(y)-уравнение с разделяющимися переменными,
m1(x)n1(y)dx+m2(x)n2(y)dy=0-уравнение с разделяющимися переменными в симметричной форме. Основной метод решения- разделение переменных, т.е. умножение левой и правой частей уравнения на такой множитель, чтобы после упрощения при dx стояла функция только от х,при dy- только от y.
,
Проинтегрируем. Общий интеграл уравнений запишется в виде:
;
.
При умножении можно потерять соответственно решение y=y0, где g(y0)=0, для первого уравнения, или x=x0, где m2(x0)=0, и y=y0, где n1(y0)=0, для второго. Эти случаи следует рассматривать отдельно. Найти yk, такие, что g(yk)=0, и проверить являются ли y=yk решениями уравнения и заключены ли они в общем интеграле при каком-то значении Сk ;аналогично для второго уравнения.
Уравнение вида y´=f(ax+by+c) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. ax+by+c=z(x)
z´=a+by´ ; z´=a-+bf(z) ; dz/dx=a+bf(z).
№30 Однородные диф. уравнения 1-ого порядка.
dy/dx = f (y/x) – однородное уравнение 1-го порядка
Функция
n
переменных z
= f
(x1,
x2,…,xn)
называется однородной функцией степени
,
если формальная подстановка tx1
вместо x1,
tx2
вместо х2,…, txn
вместо xn
, где t
– любое допустимое число, после
преобразований приведет к тождеству
если =0, то функция называется однородной нулевой степени
№31. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Методы решения.
Линейное диф уравнение перв порядка - ур первой степени относительно у и у', т.е. ур вида у'+P(x)y=Q(x) (если Q(x)≡0, то уравнение однородное, если не равно то неоднородное)
-Решение
однородного уравнения
Общее
решение:
-Реш неоднородного ур:
1
метод Бернулли.
искомая функция представляется в виде
произведения двух функций
.
-
дифференцирование по частям. Подставляя
в исходное уравнение, получаем:
можно
одну из составляющих произведение
функций выбрать так, что выражение
возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное диф уравнение. Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.
;
;
;
Окончательно получаем формулу:
