2.Исследовательская часть

Выше было указаны преимущества и недостатки различных методов отыскания экстремума. Различные методы целесообразно применять для различных типов функций, .минимум которых требуется отыскать. Аналогичные исследования имеет смысл предлагать обучаем для лучшего усвоения учебного материала. Ситуация в этой области знаний следующая: алгоритмов и программ их реализующих разработано большое количество. Вряд ли кому из студентов, потребуется в последующей практической деятельности самостоятельно разрабатывать такие программы. Достаточно просто найти готовые варианты программ. А вот вопрос какие именно варианты алгоритмов желательно использовать для той или иной практической задачи важен. Поэтому приведенное в данной главе исследование является примером тех задач, с которыми специалисты в IT-областях могут сталкиваться на практике.

Итак, объектом исследования являются методы и алгоритмы различных классов для отыскания экстремума функции двух переменных. Предметом исследования являются условия применимости и эффективность методов и алгоритмов различных классов для отыскания экстремума функции двух переменных.

Так как не имеет смысла использовать в учебных целях очень сложные функции, то выбраны функции, для которых отыскание минимума осуществляется на ЭВМ очень быстро. Критерием эффективности является именно время решения задачи. Для того, чтобы можно было бы почувствовать разницу каждая задача решается по 500 раз. Для наглядности приводится графическая интерпретация выбранных функций и схемы сходимости итерационной процедуры.

Для примера выбраны два типа функций – тригонометрическая функция, экстремум которой определить достаточно просто и «овражная» функция (функция Розенброка), для которой задачу отыскания экстремума решить сложно.

Выбраны два метода решения:

• Метод покоординатного спуска с дробным шагом;

• Метод наискорейшего спуска.

2.1.Тригонометрическая функция

Для примера выбрана тригонометрическая функция

f= Sin(x) + Cos(y),

минимальное значение которой f=-2,0 достигается при х= 3π/2~ 4,71238898038469, y= π~ 3,14159265358979. Зададим допустимую погрешность значения функции 10^-8 и начальное приближение х₀=6, y₀=5. Решали задачу поиска минимума двумя методами.

Если в методе циклического покоординатного спуска задать начальный шаг 0,5, то минимальное решение (f=-2,0) будет найдено за 57 итераций, на которые потрачено время 0, 00022 секунды. При этом конечные значения точки минимума следующие: х=4,712402; y=3,141663. Если в этом же методе задать начальный шаг 1,5, то минимальное решение (f=-2,0) будет найдено за 47 итераций, на которые потрачено практически то же самое время 0, 00022 секунды. При этом конечные значения точки минимума следующие: х=4,712402; y=3,141586.

Для решения применить метод наискорейшего спуска, то минимальное решение (f=-2,0) будет найдено всего за 6 итераций, но времени на них будет затрачено больше 0, 00044 секунды, т.к. на каждой итерации приходится вычислять значения производных функции. При этом конечные значения точки минимума следующие: х=4,7123889804; y=3,1415926536. Эти значения координат экстремума ближе к точным по сравнении координатами, полученными методом циклического покоординатного спуска. По-видимому, если использовать в качестве критерия прекращения точности не отклонения функции, а отклонения координат, результаты по количестве итераций и по времени могли бы измениться в пользу метода наискрейшего спуска. Построенные в MathCad графически нескольких первых шагов (итераций) представлены на рис. 3.1.