3.2. Основные соотношения между погонной силой q, поперечной силой Qy и изгибающим моментом Mx
Эти соотношения важны с двух точек зрения: они позволяют контролировать правильность построения эпюр изгибающих моментов, они нужны при выводе, например, формул вычисления касательных напряжений при изгибе.
Рассмотрим диск толщины ds, вырезанный из балки:
|
|
Согласно
определению на левое сечение с левой
стороны действуют
.
Аналогично, справа
действует почти такая же сила и момент,
поскольку толщина диска бесконечно
мала. Так как они мало отличаются от
воздействий с левой стороны, то согласно
принятым в математике обозначениям это
будут силы
.
Связь между
найдем из соотношений статики. Выпишем
первое уравнение равновесия:
.
Отсюда вытекает соотношение, называемое первым уравнением равновесия элемента балки
. (3.1)
Выпишем второе уравнение равновесия:
.
Деля
на ds
получим
.
Отсюда следует соотношение, называемое вторым уравнением равновесия элемента балки
. (3.2)
Следствие:
Согласно
известной теореме там, где производная
меняет знак, там функция экстремальна.
Поэтому там, где меняет знак
,
изгибающий момент
экстремален.
4.Эпюры сил и моментов
Графическое
изображение зависимостей
от положения сечения в брусе называется
«эпюрами сил
и моментов».
Рассмотрим пример построения эпюр для бруса, изображенного ниже на рисунке 4.1. Вычислим Nz, Qy , Мх в разных сечениях и сведем в таблицу (s - расстояние от левого торца до сечения).
-
s (м)
0
2
4-
4+
6
Nz (Н)
3
3
3
3
3
Qy (Н)
2
2
2
-4
-4
Mx (Нм)
0
4
8
8
0
В соответствии с таблицей построим графики функций Nz, Qy , Мх под силовой схемой бруса. Эти графики и есть эпюры .
Правила изображения эпюр.
Эпюру Nz откладывают перпендикулярно оси балки и ставят знак «+», если в рассматриваемом сечении имеет место растяжение (см. рис.4.1).
Для построения эпюры поперечных сил можно ввести мнемоническую формулу следующим образом: Qy откладываем по направлению действия равнодействующей сил, лежащих слева от сечения (и наоборот, Qy откладываем против направления действия сил, лежащих справа от сечения)
Согласно мнемонической формуле строительной механики изгибающий момент Мх будем откладывать на растянутых волокнах, как это показано на рис.4.1, т.е. с выпуклой стороны изогнутого бруса, независимо от того, действуют они слева или справа.
Рис.4.1.
Примечание. В большинстве учебников по сопротивлению материалов Мх откладывают на сжатых волокнах.