2.7. Условие прочности

Согласно условиям заказчика, рабочая нагрузка F не должна превышать некоторую допустимую величину [F] (квадратные скобки означают фразу «допустимое значение величины»). Т.е. должно выполнятся условие

(2.1)

Оно называется условием прочности.

Обычно допустимое значение нагрузки получают, уменьшая в k раз нагрузку, при которой происходит разрушение:

Константа k называется коэффициентом запаса (в строительстве нередко принимают k =1,5)

Чаще же условие прочности записывают в виде ограничения на рабочие напряжения σ, которые возникнут в конструкции при приложении проектной нагрузки F:

При использовании введенного обозначения (квадратных скобок), условие прочности примет вид

Величина [σ] называется допустимым напряжением. Если пределы прочности на растяжение и сжатие у материала разные (как например, для чугуна, бетона, камня, дерева), то [σ] снабжается соответствующим индексом. Тогда в сечениях, испытывающих растяжение, условие прочности записывают в виде

σ ≤ [σ]^раст.

Там, где имеет место сжатие, условие прочности имеет вид

| σ | ≤ [σ]^сжат.

Здесь учтено, что в области сжатия напряжения принимают отрицательный знак (согласно принятому выше соглашению). Поэтому-то и использована запись |σ|.

3. Поперечная сила и Изгибающий момент

3.1. Случай воздействия внешних сил в одной плоскости

Рассмотрим брус длины l, нагруженный внешними силами F₁, F₂,… Для простоты рассмотрим случай, когда внешние силы действуют лишь в плоскости yz (в плоскости листа). Напомним, что главный способ анализа напряженного состояния бруса в интересующем нас сечении заключается в том, что тело считается состоящим из двух частей.

Рис.3.1.

В соответствии с этим правилом разделим брус, изображенный на рис. 3.1, сечением A на две части. Напомним, что систему координат связывают с этим сечением и вводят по следующим правилам.

1. Система координат вводится в рассматриваемом сечении, а начало координат располагается в центре тяжести сечения.

2. Ось z направляется вдоль оси бруса, оси x и y располагают в плоскости сечения по правилу правого винта.

3. Положение сечения может определяться каким-либо параметром (например, расстоянием s на рис.3.1).

Для простоты будем использовать термин «правая часть бруса». Согласно рис.3.1, это та часть, которая находится со стороны конца оси z. Другую часть будем называть «левой частью бруса». На правую часть воздействует левая часть бруса через внутреннее сечение А силами N_z = F₃, Q_у = F₄ и моментом M_х = F₃ ·s относительно оси x.

Напомним, что согласно определению (см. раздел 2.2), сумма внешних сил, действующих на сечение слева (или справа) в осевом направлении, называется продольной силы N_z. Аналогично вводятся следующие понятия.

Определение 1. Суммарная сила, с которой левая часть бруса воздействует на правую поперек ее оси (в направлении оси у), называется поперечной силой Q_у. (синоним - перерезывающая сила Q_у.).

Отсюда вытекает правило вычисления Q_у:

Q_у = Σ F_y (слева от сечения)

Определение 2. Суммарный момент, которым левая часть бруса воздействует на правую относительно оси, поперечной брусу (относительно оси х), называется изгибающим моментом М_х.

Отсюда вытекает правило вычисления М_х :

М_х = Σ т_х ∙ (слева от сечения)

Отметим еще раз, что правила знаков в сопромате весьма специфичны. Для приведенной на рис.3.1 системы координат их можно ввести следующим образом.

1) Правило знаков для N_z Вклад внешней силы в суммарную продольную силу N_z положителен, если эта внешняя сила действует вдоль оси бруса на сечение растягивающим образом (независимо от направления оси z ). В нашем случае слева на сечение воздействует , а справа F₁. Поэтому .

2) Правило знаков для Q._у Если внешняя сила действует слева на сечение поперек оси, то вклад этой внешней силы в суммарную поперечную силу Q_у положителен при совпадении направлений оси у и внешней силы.

В нашем случае слева на сечение воздействует . Поэтому .

Примечание. В силу закона Ньютона, действие правой части должно быть равно действию левой. Поэтому при подсчете N_z , Q_у и слева, и справа должны получаться одни и те же значения. Однако второе правило знаков приходится формулировать по другому, а именно следующим образом: если внешняя сила F действует на сечение справа и его направление совпадает с направлением оси у, то вклад внешней силы во поперечную силу Q_у будет отрицателен. Поскольку в силу условий равновесия бруса в целом имеем равенство F₂ = F₃ , то легко убедиться, что при подсчете Q_у и слева, и справа получатся одни и те же значения..

3) Правило знаков для М_х : Изгибающий момент , если он, изгибая брус, создает положительную кривизну бруса. Например, в выбранной системе координат это правило для М_х можно представить графически в виде, приведенном на нижеследующем рисунке.

Для бруса длины l , изображенном на рис.3.1, получим: .

Примечания.

1. Если рассматривать воздействие левой части бруса на правую, то правило знаков для моментов М_х совпадает с правилом, вводимым в теоретической механике.

2. Часто вместо координаты s, определяющей положение сечения, используют обозначение z. Если ось бруса прямолинейна, то это не вызывает недоразумений. Но в случае, например, криволинейного кругового бруса положение сечения определяют угловой координатой. При этом необходимо помнить, что ось z направлена перпендикулярно нормальному сечению бруса и поэтому меняет свое направление.

3. Силы N_z , Q_у и момент М_х часто называют внутренними силовыми факторами.