3. Выражение коэффициента динамичности через скорость ударяющего тела

Пусть тело движется со скоростью . Для преобразования формулы (20.5) применим следующее рассуждение. Если тело падает с высоты Н, то его скорость v и высота падения Н связаны соотношением:

.

Найдя отсюда 2Н и подставляя в (20.6), получим:

(20.7)

Пример: Проверить прочность бетонной колонны, если

Рис.20.4

Решение: Из расчетной схемы видно, что

.

Тогда .

Вычислим . Для этого сначала найдем :

.

По формуле(20.5), получаем:

.

Таким образом:

.

Поскольку , то имеем большую перегрузку.

20.4. Принцип Даламбера

Если ускорение элементов конструкции известны, то динамическую задачу можно свести к статической. На многочисленных экспериментах, сравнениях и расчетах было показано, что добавление силы инерции к внешним нагрузкам приводит динамическую задачу к обычной статической. То есть, если к внешним силам добавить силы инерции в уравнениях равновесия, то скорости и перемещения, найденные из этих уравнений согласуются с замеренными в эксперименте.

Рассмотрим применение этого принципа на простом примере.

Рис.20.5

Пусть груз опускается со скоростью . Пусть в результате торможения груз остановился за время . Найдем силу натяжения троса. Пренебрежем силой веса троса и силами ее инерции.

Кроме силы веса груза при торможении появиться сила его инерции:

.

Здесь - масса груза, а ускорение вычисляется по формуле:

.

Таким образом, .

Сила натяжения будет:

.

Ускорение можно вычислить также и в задачах о вращении тел. Пусть - угловая скорость, тогда центростремительное ускорение

.

Следовательно, для этих задач, тоже можно вычислить силу инерции. В других случаях необходимо решать дифференциальные уравнения вида:

, (20.9)

где х – перемещение массы m.

20.5. Колебания упругих стержней

Для простоты будем считать, что масса стержня намного меньше массы груза, поэтому силами инерции элементов стержня пренебрегаем. Колебания подразделяются на свободные и вынужденные. Свободные колебания возникают после кратковременного приложения внешней силы. Вынужденные колебания вызываются переменами во времени нагрузками.

Рис.20.6.

20.5.1. Свободные колебания

Приложим кратковременную нагрузку и удалим ее. Поскольку внешних сил нет, то колебания существуют по причине наличия сил инерции. Рассмотрим сечение I-I.

Рис.20.7

На него действует сила растяжения . Если груз движется с некоторым ускорением , то на груз действует сила инерции

.

Запишем условие равенства нулю всех сил.

.

. (20.10)

Выразим и F_инер через удлинение стержня. Имеем закон Гука:

. (20.11)

С другой стороны перемещение u груза это и есть величина удлинения . Из теоретической механики известно, что ускорение и F_инер вычисляются по формуле (точка означает дифференцирование по времени):

(20.12)

Подставим в (20.10):

Деля на т и вводя обозначение , получим следующее уравнение относительно :

.

Решение этого уравнения (которое называется уравнением свободных колебаний) имеет вид (это легко проверить путем подстановки)

.

Картина зависимости Δl от времени для разных ω приведен на рис.20.8.

Рис.20.8

Коэффициент ω характеризует то, насколько часто повторяется волна синусоиды в каком-либо интервале. Чем больше ω, тем чаще повторяется волна синусоиды, поэтому ω называют частотой свободных колебаний стержне. Например, на рисунке справа волн больше, значит ω для нее больше.

Константы B и С определяются из начальных условий, например, если при t=0 оттянуть стержень на величину , а затем отпустить, то имеем следующие начальные условия:

П одставим в эти условия наше решение:

Получим:

.

Таким образом: Рис.20.9

.

График зависимости Δl от времени приведен на рис.20.9.

Примечание. Величина ω является наиболее важной характеристикой сооружения, поскольку она определяет возможность появления резонанса от воздействия внешних нагрузок.