20. Динамические задачи

В некоторых случаях на строительные конструкции воздействуют силы, которые быстро меняются со временем. Это может приводить к двум опасным последствиям:

1) Динамическое воздействие может превысить статическое воздействие внешних сил в разы и даже в десятки и сотни раз.

2) Может возникнуть явление резонанса.

Существует 2 способа решения задачи об определении динамического воздействия тел на конструкции. Они основаны соответственно на следующих двух законах: законе сохранения энергии и принципе Даламбера.

20.1. Удар

Рассмотрим задачу о падении груза веса F=mg с высоты Н (см. рис.20.1).

Рис.20.1

Проектировщика интересует максимальная сила воздействия, которую назовем силой удара. Наряду с этой задачей рассмотрим фиктивную задачу, когда на стержень действует сила , которая равна весу тела F.

Рис.20.2

Силу удара обозначим через . Ясно, что: .

Введем коэффициент динамичности:

.

Тогда динамическое напряжение будет

. (20.2)

По закону Гука:

.

Согласно (20.1) получим:

, (20.3)

Таким образом, проблема сводится к вычислению числа . Для его определения используем закон сохранения энергии.

Падая, груз совершит некоторую работу. Эта работа не может исчезнуть, она превращается в энергию деформации сжатого стержня.

Обозначим через W_F - работу силы F; а через W_σ - энергию деформации стержня. Тогда W_F = W_σ .Сначала вычислим W_F:

.

Здесь - путь, который пройдет сила F. Из рис.20.1 видно, что:

(20.4)

Вычислим энергию деформации стержня:

.

Подставляя в закон сохранения энергии (20.4), получаем:

.

Сокращая на получим квадратное уравнение относительно :

.

Его решение имеет вид:

.

Учтем, что . Тогда получим:

. (20.5)

Это основная формула для вычисления коэффициента динамичности. Здесь H- высота падения груза; - деформация стержня для фиктивной задачи о статическом нагружении (рис.20.2).

Следствия из формулы (20.5).

1. Если даже высота падения H=0, то согласно (20.5) внезапное нагружение удваивает силу воздействия веса груза.

2. Чем больше (то есть чем больше осадка стержня), тем меньше вредное воздействие удара, поскольку становится меньше. Из закона Гука:

.

следует, что этого можно добиться 3-мя способами

1. Увеличить длину стержня

2. Уменьшить толщину стержня

3. Уменьшить жесткость (Е) стержня

Примечание: формулу (20.5) можно применять и при ударе по балке (рис.20.3). При этом под нужно понимать прогиб (см. рис.20.3)

Рис.20.3

20.2 Область применения формулы для коэффициента динамичности

1. Из (20.3) видно, что при по закону Гука . Следовательно, коэффициент динамичности будет неограниченно увеличиваться. Одной из причин этого парадокса является то, что при выводе не учитывалась масса самого стержня. А при ударе часть энергии груза передается элементам стержня, которые тоже начинают двигаться, приобретая кинетическую энергию. Приближенно это энергия учитывается в следующей уточненной формуле:

. (20.6)

Здесь m-масса груза ( ), -масса стержня, с - поправочный коэффициент, зависящий от способа закрепления и вида удара (продольного или поперечного).

Например, при поперечном ударе по шарнирно опертой балке , при продольном ударе . При продольном ударе по стержню, массу которого можно считать расположенной в точке удара, коэффициент с=1.

2. При вычислении коэффициента динамичности использовался закон Гука, поэтому если , то этой формулой пользоваться нельзя.

3. Исследования показали, что при формулу (20.5) также нельзя применять, поскольку при этом могут появляться местные и неупругие деформации. Кроме того, при в теле большую роль начинают играть ударные волны, которые не были учтены при выводе формулы (20.5).