18.5. Напряжения при свободном кручении тонкостенных стержней замкнутого профиля
Рассмотрим тонкостенный стержень с замкнутым профилем (рис.18.19)
Рис.18.19
Введем систему
координат
,
где ось
проходит по точкам, которые делят стенку
пополам (рис.18.20). В общем случае толщина
t
стенки может
быть переменной, т.е.
Рис.18.20 Рис.18.21
Рассмотрим задачу
вычисления
.
Ввиду тонкостенности можно считать,
что напряжения
,
не изменяются по толщине, но могут быть
разными при разных ξ.
Вырежем элемент стержня (см. рис.18.20,
рис.18.21). В силу закона парности на верхней
грани действует
,
а на нижней -
.
Запишем уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы сил на продольную ось s.
.
Поскольку: 
,
,
то:
.
Таким образом,
. (18.14)
Выразим теперь через внешние моменты. Рассмотрим сечение, приведенное на рис.18.22.
Рис.18.22
Сила
- это равнодействующая напряжений
,
действующих на заштрихованную площадку
длиной
:
.
Эта сила создает момент около точки О:
.
Найдем сумму всех dM:
.
Из условия равновесия левой части стержня (см.рис.18.20) вытекает, что
.
Учтем, что 
согласно (18.14). Эту константу можно
вынести:
. (18.16)
Найдем геометрический
смысл подынтегрального выражения.
Рассмотрим нашу площадку (рис.18.23). Из
рисунка видно, что площадь треугольника
BDO
равна
,
т.е.
. (18.17)
Рис.18.23 Рис.18.24
Интеграл – это сумма таких площадей. Таким образом, получим, что интеграл равен удвоенной площади фигуры, которая ограничена штриховой линией, изображенной на рис.18.25.
. (18.18)
Определение: Эту площадь А* назовем площадью просвета трубы.
Рис.18.25
Подставляя (18.18) в (18.16) видим, что:
.
Отсюда вытекает формула Бредта:
. (18.19)
Из (18.19) следует, что при кручении труб разрушение начинается там, где толщина стенки минимальна.
18.6. Угол закрутки тонкостенных стержней замкнутого профиля
Рассмотрим поворот
сечения на угол
- угол поворота правого торца относительно
левого (рис.18.26). При этом точка
перейдет в точку
.
Из рисунка видно, что:
. (18.20)
Рис.18.26 Рис.18.27
Как и в случае
круглых стержней выразим теперь
через угол
-
угол сдвига прямоугольника HNLK.
Как видно из рисунка
.
Здесь в силу малости . Тогда
. (18.21)
Выразим далее
через
.
Используя равенство углов с
перпендикулярными сторонами, получим,
что
.
Тогда:
.
Подстановка сюда соотношений (18.20), (18.21)дает:
. (18.22)
По закону Гука
.
Из (18.22) с учетом формулы Бредта (18.19) получим:
. (18.23)
Отсюда вытекает,
что
зависит от
.
Для осреднения угла поворота разных
точек контура используют следующий
подход. В (18.23) слева и справа у нас
одинаковые функции. Значит и интегралы
от них будут одинаковы:
.
Ранее было получено,
что слева интеграл равен
(см.формулу (18.18)). Тогда: 
.
Таким образом, получаем следующую формулу Бредта для угла :
. (18.24)
Здесь интеграл можно назвать относительным периметром стенки трубы:
. (18.25)
В компактной форме формулу Бредта для угла запишем теперь в виде:
. (18.24)
Рассмотрим частные случаи.
Пусть
.
Тогда:
,
где р - периметр контура сечения трубы.
П
усть
труба составлена из кусков с постоянными
толщинами (см. рис.18.28) :
Рис.18.28
Тогда: 
(18.26)
Таким образом:
(18.27)