Формула вычисления касательного напряжения
Найдем
1
из условия равновесия левой части вала.
Сечение разобьем на малые площадки,
.
На них действуют напряжения
с суммарными силами
Рис.18.6
Относительно оси z они создают моменты:
Поскольку 
,
то
получим:
Запишем уравнение равновесия:
.
Согласно
определению: 
Мz.
Тогда
.
(18.4)
Интеграл представляет собой геометрическую характеристику, которая называется полярным моментом инерции и обозначается:
.
Поскольку 
(см. рис 18.7), то
.
Р
ис.18.7
Таким образом, из (18.4) вытекает, что:
.
Подставляя в (18.3) получаем формулу для :
. (18.5)
Условие прочности примет вид:
.
(18.6)
Отметим, что здесь имеется полная аналогия с задачей изгиба. Нарисуем эпюру :
Рис.18.8 Рис.18.9
Видно, что центральная часть вала мало загружена, следовательно, можно центральную часть убрать без ущерба для прочности вала. Поэтому валы делают полыми. Тогда:
. (18.6)
18.3. Расчет вала на жесткость
Под действием
внешних моментов сечения вала закручиваются
на некоторый угол
,
который называется углом
закрутки (рис.18.10).
Кроме выполнения условий прочности
заказчик конструкций обычно требует,
чтобы был ограничен и этот угол закрутки.
Такое требование называется условием
жесткости.
Таким образом, для валов условие жесткости имеет вид:
. (18.8)
Примечание: Иногда ставится другое или дополнительное ограничение в виде условия жесткости по погонному углу закрутки.
. (18.9)
Д
ля
вывода формулы вычисления
рассмотрим деформацию вала:
Рис.18.10 Рис.18.11
Сначала найдем
из
.
С другой стороны: 
.
Приравнивая,
получим: 
; 
.
По закону Гука
,
а по формуле (18.5)
.
Подставляя, получим:
. (18.10)
Отсюда можем найти погонный угол закрутки:
. (18.11)
Рассмотрим случай,
когда вал состоит из ряда участков
(рис.18.12). Найдем угол поворота φ
правого торца относительно левого. Для
этого по формуле (18.10) сначала найдем
- поворот среднего сечения относительно
левого торца. Аналогично вычисляется
- поворот правого торца относительно
среднего сечения. Полный угол поворота
φ будет
. (18.12)
Рис.18.12
Примечание 1:
Легко обнаружить, что математически задача кручения круглых валов полностью аналогична задаче о растяжении (сжатии) составных брусьев.
Например, из рис.18.13 вытекает, что
. (18.13)
(сравни рис.18.13 с рис.18.13 , а также формулу (18.12) с (18.13)).
Рис.18.13
Примечание 2:
При изображении эпюр крутящих моментов имеет место следующее правило контроля: там где есть сосредоточенный момент, там есть скачок на величину этого момента. Это правило легко проследить на примере, приведенном на рис.18.14.
Рис.18.14
18.4. Свободное кручение тонкостенных стержней
Существует 2 вида тонкостенных стержней:
Стержень замкнутого профиля (с замкнутым контуром), изображенный на рис.18.15.
Рис.18.15
Стержень с открытым контуром профиля (рис.18.16)
Рис.18.16
Кручение тонкостенных стержней может быть свободным или стесненным.
Если крепление концов стержня не вызывают реактивных моментов, то такое кручение называется свободным (см. рис.18.17).
Рис.18.17 Рис.18.18
Стесненное кручение возникает тогда, когда хотя бы один конец стержня закреплен так, что это приводит к появлению реактивных моментов (см. рис.18.18).